Cálculo Exemplos

$\sum_{k = 1}^{4} 2 \sin (\frac{π}{k})$

Etapa 1

Expanda a série para cada valor de $k$ .

$2 \sin (\frac{π}{1}) + 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Divida $π$ por $1$ .

$2 \sin (π) + 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$2 \sin (0) + 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 2.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$2 \cdot 0 + 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 2.1.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 + 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 2.1.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 + 2 \cdot 1 + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 2.1.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + 2 + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 2.1.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$0 + 2 + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 2.1.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.8.1

Cancele o fator comum.

$0 + 2 + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 2.1.8.2

Reescreva a expressão.

$0 + 2 + \sqrt{3} + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 2.1.9

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$0 + 2 + \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.1.10

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.10.1

Cancele o fator comum.

$0 + 2 + \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.1.10.2

Reescreva a expressão.

$0 + 2 + \sqrt{3} + \sqrt{2}$

Etapa 2.2

Some $0$ e $2$ .

$2 + \sqrt{3} + \sqrt{2}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2 + \sqrt{3} + \sqrt{2}$

Forma decimal:

$5.14626436 \dots$