Cálculo Exemplos

$\int \frac{3 x^{2}}{\sqrt{2 x^{2} + 5}} d x$

Etapa 1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x^{2} + 5}} d x$

Etapa 2

Deixe $x = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2}$ é positivo.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2^{1} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.1.5

Avalie o expoente.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.3.6.5

Avalie o expoente.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.4.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{10}}{2} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.5

Combine $\frac{\sqrt{10}}{2}$ e $\tan (t)$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{10} \tan (t)}{2})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.6.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{10} \tan (t)}{2}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{{(\sqrt{10} \tan (t))}^{2}}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.6.2

Aplique a regra do produto a $\sqrt{10} \tan (t)$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{{\sqrt{10}}^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.7

Reescreva ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.7.4.2

Reescreva a expressão.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10^{1} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.7.5

Avalie o expoente.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10 \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.8

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10 \tan^{2} (t)}{4} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.9

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.9.1

Fatore $2$ de $4$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10 \tan^{2} (t)}{2 (2)} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.9.2

Cancele o fator comum.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10 \tan^{2} (t)}{2 \cdot 2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.9.3

Reescreva a expressão.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{\frac{10 \tan^{2} (t)}{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.10

Cancele o fator comum de $10$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.10.1

Fatore $2$ de $10 \tan^{2} (t)$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{\frac{2 (5 \tan^{2} (t))}{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.10.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{\frac{2 (5 \tan^{2} (t))}{2 (1)} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.10.2.2

Cancele o fator comum.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{\frac{2 (5 \tan^{2} (t))}{2 \cdot 1} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.10.2.3

Reescreva a expressão.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{\frac{5 \tan^{2} (t)}{1} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.10.2.4

Divida $5 \tan^{2} (t)$ por $1$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.11

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.11.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.11.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.11.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{2}{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.11.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.11.4.1

Cancele o fator comum.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{2}{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.11.4.2

Reescreva a expressão.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{1}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.1.11.5

Avalie o expoente.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.2

Fatore $5$ de $5 \tan^{2} (t) + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Fatore $5$ de $5 \tan^{2} (t)$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 (\tan^{2} (t)) + 5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.2.2

Fatore $5$ de $5$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 (\tan^{2} (t)) + 5 (1)}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.2.3

Fatore $5$ de $5 (\tan^{2} (t)) + 5 (1)$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.4

Reordene $5$ e $\sec^{2} (t)$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Combine $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ e $\tan (t)$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5} \tan (t)}{\sqrt{2}})}^{2}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5} \tan (t)}{\sqrt{2}}$ .

$3 \int \frac{\frac{{(\sqrt{5} \tan (t))}^{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.2.2

Aplique a regra do produto a $\sqrt{5} \tan (t)$ .

$3 \int \frac{\frac{{\sqrt{5}}^{2} \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.3.1

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int \frac{\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.2.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int \frac{\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.2.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$3 \int \frac{\frac{5^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$3 \int \frac{\frac{5^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.2.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$3 \int \frac{\frac{5^{1} \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.2.3.1.5

Avalie o expoente.

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.2.3.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.2.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.2.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.2.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.2.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{2^{1}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.2.3.2.5

Avalie o expoente.

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{2}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.2.3.3

Reescreva $\frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{2}}{\sec (t) \sqrt{5}}$ como um produto.

$3 \int \frac{5 \tan^{2} (t)}{2} \cdot \frac{1}{\sec (t) \sqrt{5}} \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.2.3.4

Multiplique $\frac{5 \tan^{2} (t)}{2}$ por $\frac{1}{\sec (t) \sqrt{5}}$ .

$3 \int \frac{5 \tan^{2} (t)}{2 (\sec (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3.2.2.3.5

Multiplique $\frac{5 \tan^{2} (t)}{2 \sec (t) \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2}$ .

$3 \int \frac{5 \tan^{2} (t) (\sqrt{10} \sec^{2} (t))}{2 \sec (t) \sqrt{5} \cdot 2} d t$

Etapa 3.2.2.3.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 \int \frac{5 \tan^{2} (t) (\sqrt{10} \sec^{2} (t))}{4 \sec (t) \sqrt{5}} d t$

Etapa 3.2.2.3.7

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.3.7.1

Fatore $\sec (t)$ de $5 \tan^{2} (t) \sqrt{10} \sec^{2} (t)$ .

$3 \int \frac{\sec (t) (5 \tan^{2} (t) \sqrt{10} \sec (t))}{4 \sec (t) \sqrt{5}} d t$

Etapa 3.2.2.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.3.7.2.1

Fatore $\sec (t)$ de $4 \sec (t) \sqrt{5}$ .

$3 \int \frac{\sec (t) (5 \tan^{2} (t) \sqrt{10} \sec (t))}{\sec (t) (4 \sqrt{5})} d t$

Etapa 3.2.2.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$3 \int \frac{\sec (t) (5 \tan^{2} (t) \sqrt{10} \sec (t))}{\sec (t) (4 \sqrt{5})} d t$

Etapa 3.2.2.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$3 \int \frac{5 \tan^{2} (t) \sqrt{10} \sec (t)}{4 \sqrt{5}} d t$

Etapa 4

Como $\frac{5 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{5 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}}$ para fora da integral.

$3 (\frac{5 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $\frac{5 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}}$ e $3$ .

$\frac{5 \sqrt{10} \cdot 3}{4 \sqrt{5}} \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 5.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 6

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} \int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 7

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 8

Simplifique os termos.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} \int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 8.2

Simplifique cada termo.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 11

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 12

Fatore $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Etapa 13

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sec (t)$ e $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Etapa 14

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Etapa 15

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Etapa 17

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 17.2

Reordene $\tan^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Etapa 18

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Etapa 19

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Reescreva a exponenciação como um produto.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Etapa 19.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Etapa 19.3

Reordene $\sec (t)$ e $- 1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Etapa 20

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Etapa 21

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 22

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Etapa 23

Some $1$ e $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 24

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Etapa 25

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Etapa 26

Some $2$ e $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 27

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Etapa 28

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Etapa 29

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Etapa 30

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 30.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 30.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 31

Ao resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , descobrimos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Etapa 32

Multiplique $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ por $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Etapa 33

Simplifique.

$\frac{15 \sqrt{\frac{10}{5}}}{4} (- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}) + C$

Etapa 34

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.1

Divida $10$ por $5$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} (- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}) + C$

Etapa 34.2

Para escrever $- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} (- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}) + C$

Etapa 34.3

Combine $- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} (\frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2}{2} + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}) + C$

Etapa 34.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Etapa 34.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Etapa 34.6

Some $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ e $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Etapa 34.7

Multiplique $\frac{15 \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{4 \cdot 2} + C$

Etapa 34.8

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

Etapa 35

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{5}})$ .

$\frac{15 \sqrt{2} (\sec (\arctan (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{5}})) \tan (\arctan (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{5}})) - \ln (| \sec (\arctan (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{5}})) |))}{8} + C$

Etapa 36

Reordene os termos.

$\frac{15 \sqrt{2}}{8} (\sec (\arctan (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x)) \tan (\arctan (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x)) - \ln (| \sec (\arctan (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x)) + \tan (\arctan (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x)) |)) + C$