Cálculo Exemplos

$\int \frac{3 x^{2} - 8 x + 13}{(x + 3) {(x - 1)}^{2}} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 3}$

Etapa 1.1.2

$\frac{A}{x + 3} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{x + 3} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{C}{x - 1}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 3) {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x^{2} - 8 x + 13) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{(x + 3) {(x - 1)}^{2}} = \frac{(A) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(3 x^{2} - 8 x + 13) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{(A) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de ${(x - 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 x^{2} - 8 x + 13) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{(A) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.6.2

Divida $3 x^{2} - 8 x + 13$ por $1$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = \frac{(A) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$3 x^{2} - 8 x + 13 = \frac{A (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.1.2

Divida $(A) {(x - 1)}^{2}$ por $1$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = (A) {(x - 1)}^{2} + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.2

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A ((x - 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.3

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.4.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.4.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.4.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A (x^{2} - x - x + 1) + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.4.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A (x^{2} - 2 x + 1) + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} + A (- 2 x) + A \cdot 1 + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.6.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.6.2

Multiplique $A$ por $1$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.7

Cancele o fator comum de ${(x - 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.7.1

Cancele o fator comum.

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + \frac{(B) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.7.2

Divida $(B) (x + 3)$ por $1$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + (B) (x + 3) + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.8

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + B \cdot 3 + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.9

Mova $3$ para a esquerda de $B$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + 3 \cdot B + \frac{(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.10

Cancele o fator comum de ${(x - 1)}^{2}$ e $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.10.1

Fatore $x - 1$ de $(C) (x + 3) {(x - 1)}^{2}$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + 3 B + \frac{(x - 1) ((C) (x + 3) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.10.2.1

Multiplique por $1$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + 3 B + \frac{(x - 1) ((C) (x + 3) (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}$

Etapa 1.1.7.10.2.2

Cancele o fator comum.

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + 3 B + \frac{(x - 1) ((C) (x + 3) (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}$

Etapa 1.1.7.10.2.3

Reescreva a expressão.

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + 3 B + \frac{(C) (x + 3) (x - 1)}{1}$

Etapa 1.1.7.10.2.4

Divida $(C) (x + 3) (x - 1)$ por $1$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + 3 B + (C) (x + 3) (x - 1)$

Etapa 1.1.7.11

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + 3 B + (C x + C \cdot 3) (x - 1)$

Etapa 1.1.7.12

Mova $3$ para a esquerda de $C$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + 3 B + (C x + 3 \cdot C) (x - 1)$

Etapa 1.1.7.13

Expanda $(C x + 3 C) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + 3 B + C x (x - 1) + 3 C (x - 1)$

Etapa 1.1.7.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + 3 B + C x \cdot x + C x \cdot - 1 + 3 C (x - 1)$

Etapa 1.1.7.13.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + 3 B + C x \cdot x + C x \cdot - 1 + 3 C x + 3 C \cdot - 1$

Etapa 1.1.7.14

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.14.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.14.1.1.1

Mova $x$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + 3 B + C (x \cdot x) + C x \cdot - 1 + 3 C x + 3 C \cdot - 1$

Etapa 1.1.7.14.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + 3 B + C x^{2} + C x \cdot - 1 + 3 C x + 3 C \cdot - 1$

Etapa 1.1.7.14.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $C x$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + 3 B + C x^{2} - 1 \cdot (C x) + 3 C x + 3 C \cdot - 1$

Etapa 1.1.7.14.1.3

Reescreva $- 1 (C x)$ como $- (C x)$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + 3 B + C x^{2} - (C x) + 3 C x + 3 C \cdot - 1$

Etapa 1.1.7.14.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + 3 B + C x^{2} - C x + 3 C x - 3 C$

Etapa 1.1.7.14.2

Some $- C x$ e $3 C x$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + 3 B + C x^{2} + 2 C x - 3 C$

Etapa 1.1.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Mova $A$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 x A + A + B x + 3 B + C x^{2} + 2 C x - 3 C$

Etapa 1.1.8.2

Reordene $B$ e $x$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 x A + A + B x + 3 B + C x^{2} + 2 C x - 3 C$

Etapa 1.1.8.3

Mova $3 B$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 x A + A + B x + C x^{2} + 2 C x + 3 B - 3 C$

Etapa 1.1.8.4

Mova $A$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 x A + B x + C x^{2} + 2 C x + A + 3 B - 3 C$

Etapa 1.1.8.5

Mova $B x$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} - 2 x A + C x^{2} + B x + 2 C x + A + 3 B - 3 C$

Etapa 1.1.8.6

Mova $- 2 x A$ .

$3 x^{2} - 8 x + 13 = A x^{2} + C x^{2} - 2 x A + B x + 2 C x + A + 3 B - 3 C$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$3 = A + C$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 8 = - 2 A + B + 2 C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$13 = A + 3 B - 3 C$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$3 = A + C$

$- 8 = - 2 A + B + 2 C$

$13 = A + 3 B - 3 C$

$3 = A + C$

$- 8 = - 2 A + B + 2 C$

$13 = A + 3 B - 3 C$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $3 = A + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $A + C = 3$ .

$A + C = 3$

$- 8 = - 2 A + B + 2 C$

$13 = A + 3 B - 3 C$

Etapa 1.3.1.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$A = 3 - C$

$- 8 = - 2 A + B + 2 C$

$13 = A + 3 B - 3 C$

$A = 3 - C$

$- 8 = - 2 A + B + 2 C$

$13 = A + 3 B - 3 C$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $3 - C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 8 = - 2 A + B + 2 C$ por $3 - C$ .

$- 8 = - 2 (3 - C) + B + 2 C$

$A = 3 - C$

$13 = A + 3 B - 3 C$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique $- 2 (3 - C) + B + 2 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 8 = - 2 \cdot 3 - 2 (- C) + B + 2 C$

$A = 3 - C$

$13 = A + 3 B - 3 C$

Etapa 1.3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$- 8 = - 6 - 2 (- C) + B + 2 C$

$A = 3 - C$

$13 = A + 3 B - 3 C$

Etapa 1.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- 8 = - 6 + 2 C + B + 2 C$

$A = 3 - C$

$13 = A + 3 B - 3 C$

$- 8 = - 6 + 2 C + B + 2 C$

$A = 3 - C$

$13 = A + 3 B - 3 C$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Some $2 C$ e $2 C$ .

$- 8 = - 6 + B + 4 C$

$A = 3 - C$

$13 = A + 3 B - 3 C$

$- 8 = - 6 + B + 4 C$

$A = 3 - C$

$13 = A + 3 B - 3 C$

$- 8 = - 6 + B + 4 C$

$A = 3 - C$

$13 = A + 3 B - 3 C$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $13 = A + 3 B - 3 C$ por $3 - C$ .

$13 = (3 - C) + 3 B - 3 C$

$- 8 = - 6 + B + 4 C$

$A = 3 - C$

Etapa 1.3.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.4.1

Subtraia $3 C$ de $- C$ .

$13 = 3 + 3 B - 4 C$

$- 8 = - 6 + B + 4 C$

$A = 3 - C$

$13 = 3 + 3 B - 4 C$

$- 8 = - 6 + B + 4 C$

$A = 3 - C$

$13 = 3 + 3 B - 4 C$

$- 8 = - 6 + B + 4 C$

$A = 3 - C$

Etapa 1.3.3

Reordene $3$ e $- C$ .

$A = - C + 3$

$13 = 3 + 3 B - 4 C$

$- 8 = - 6 + B + 4 C$

Etapa 1.3.4

Resolva $B$ em $- 8 = - 6 + B + 4 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Reescreva a equação como $- 6 + B + 4 C = - 8$ .

$- 6 + B + 4 C = - 8$

$A = - C + 3$

$13 = 3 + 3 B - 4 C$

Etapa 1.3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$B + 4 C = - 8 + 6$

$A = - C + 3$

$13 = 3 + 3 B - 4 C$

Etapa 1.3.4.2.2

Subtraia $4 C$ dos dois lados da equação.

$B = - 8 + 6 - 4 C$

$A = - C + 3$

$13 = 3 + 3 B - 4 C$

Etapa 1.3.4.2.3

Some $- 8$ e $6$ .

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

$13 = 3 + 3 B - 4 C$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

$13 = 3 + 3 B - 4 C$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

$13 = 3 + 3 B - 4 C$

Etapa 1.3.5

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- 2 - 4 C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $13 = 3 + 3 B - 4 C$ por $- 2 - 4 C$ .

$13 = 3 + 3 (- 2 - 4 C) - 4 C$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

Etapa 1.3.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1

Simplifique $3 + 3 (- 2 - 4 C) - 4 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$13 = 3 + 3 \cdot - 2 + 3 (- 4 C) - 4 C$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

Etapa 1.3.5.2.1.1.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$13 = 3 - 6 + 3 (- 4 C) - 4 C$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

Etapa 1.3.5.2.1.1.3

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$13 = 3 - 6 - 12 C - 4 C$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

$13 = 3 - 6 - 12 C - 4 C$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

Etapa 1.3.5.2.1.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1.2.1

Subtraia $6$ de $3$ .

$13 = - 3 - 12 C - 4 C$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

Etapa 1.3.5.2.1.2.2

Subtraia $4 C$ de $- 12 C$ .

$13 = - 3 - 16 C$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

$13 = - 3 - 16 C$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

$13 = - 3 - 16 C$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

$13 = - 3 - 16 C$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

$13 = - 3 - 16 C$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

Etapa 1.3.6

Resolva $C$ em $13 = - 3 - 16 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Reescreva a equação como $- 3 - 16 C = 13$ .

$- 3 - 16 C = 13$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

Etapa 1.3.6.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$- 16 C = 13 + 3$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

Etapa 1.3.6.2.2

Some $13$ e $3$ .

$- 16 C = 16$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

$- 16 C = 16$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

Etapa 1.3.6.3

Divida cada termo em $- 16 C = 16$ por $- 16$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.3.1

Divida cada termo em $- 16 C = 16$ por $- 16$ .

$\frac{- 16 C}{- 16} = \frac{16}{- 16}$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

Etapa 1.3.6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 16 C}{- 16} = \frac{16}{- 16}$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

Etapa 1.3.6.3.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{16}{- 16}$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

$C = \frac{16}{- 16}$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

$C = \frac{16}{- 16}$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

Etapa 1.3.6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.3.3.1

Divida $16$ por $- 16$ .

$C = - 1$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

$C = - 1$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

$C = - 1$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

$C = - 1$

$B = - 2 - 4 C$

$A = - C + 3$

Etapa 1.3.7

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $- 1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $B = - 2 - 4 C$ por $- 1$ .

$B = - 2 - 4 \cdot - 1$

$C = - 1$

$A = - C + 3$

Etapa 1.3.7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.1

Simplifique $- 2 - 4 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.1.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$B = - 2 + 4$

$C = - 1$

$A = - C + 3$

Etapa 1.3.7.2.1.2

Some $- 2$ e $4$ .

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - C + 3$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - C + 3$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - C + 3$

Etapa 1.3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $A = - C + 3$ por $- 1$ .

$A = - (- 1) + 3$

$B = 2$

$C = - 1$

Etapa 1.3.7.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.4.1

Simplifique $- (- 1) + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.4.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1 + 3$

$B = 2$

$C = - 1$

Etapa 1.3.7.4.1.2

Some $1$ e $3$ .

$A = 4$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = 4$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = 4$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = 4$

$B = 2$

$C = - 1$

Etapa 1.3.8

Liste todas as soluções.

$A = 4, B = 2, C = - 1$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 3} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{C}{x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{4}{x + 3} + \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{- 1}{x - 1}$

Etapa 1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{4}{x + 3} + \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{4}{x + 3} d x + \int \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 3

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \frac{1}{x + 3} d x + \int \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = x + 3$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = x + 3$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$4 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$4 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$4 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 7

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 7.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$4 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 8

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 8.1

Mova ${u_{2}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$4 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 8.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 8.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- 2}$ com relação a $u_{2}$ é $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$4 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C) + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - \int \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 11

Deixe $u_{3} = x - 1$ . Depois, $d u_{3} = d x$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u_{3} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 11.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 11.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 11.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$4 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $\ln (| u_{3} |)$ .

$4 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (\ln (| u_{3} |) + C)$

Etapa 13

Simplifique.

$4 \ln (| u_{1} |) - \frac{2}{u_{2}} - \ln (| u_{3} |) + C$

Etapa 14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 3$ .

$4 \ln (| x + 3 |) - \frac{2}{u_{2}} - \ln (| u_{3} |) + C$

Etapa 14.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 1$ .

$4 \ln (| x + 3 |) - \frac{2}{x - 1} - \ln (| u_{3} |) + C$

Etapa 14.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $x - 1$ .

$4 \ln (| x + 3 |) - \frac{2}{x - 1} - \ln (| x - 1 |) + C$