Cálculo Exemplos

$\frac{1}{x^{4} - 1}$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

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Etapa 1.1.1.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2})}^{2} - 1}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2})}^{2} - 1^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 1.1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})}$

Etapa 1.1.1.4.2

Fatore.

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Etapa 1.1.1.4.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))}$

Etapa 1.1.1.4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A x + B}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.3

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $C$ .

$\frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Etapa 1.1.4

$\frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 1}$

Etapa 1.1.5

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.1.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(1 (x + 1)) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.8

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.1.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.8.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.9.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.1.9.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.1.2

Divida $((A x + B) (x + 1)) (x - 1)$ por $1$ .

$1 = ((A x + B) (x + 1)) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.2

Expanda $(A x + B) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.9.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = (A x (x + 1) + B (x + 1)) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = (A x \cdot x + A x \cdot 1 + B (x + 1)) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = (A x \cdot x + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.9.3.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.9.3.1.1

Mova $x$ .

$1 = (A (x \cdot x) + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 = (A x^{2} + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.3.2

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = (A x^{2} + A x + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.3.3

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = (A x^{2} + A x + B x + B) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.4

Expanda $(A x^{2} + A x + B x + B) (x - 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$1 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + B x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.5

Combine os termos opostos em $A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + B x + B \cdot - 1$ .

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Etapa 1.1.9.5.1

Reorganize os fatores nos termos $B x \cdot - 1$ e $B x$ .

$1 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x - B x + B x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.5.2

Some $- B x$ e $B x$ .

$1 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + 0 + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.5.3

Some $A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x$ e $0$ .

$1 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.9.6.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.9.6.1.1

Mova $x$ .

$1 = A (x \cdot x^{2}) + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.6.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.9.6.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$1 = A (x \cdot x^{2}) + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.6.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 = A x^{1 + 2} + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.6.1.3

Some $1$ e $2$ .

$1 = A x^{3} + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $A x^{2}$ .

$1 = A x^{3} - 1 \cdot (A x^{2}) + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.6.3

Reescreva $- 1 (A x^{2})$ como $- (A x^{2})$ .

$1 = A x^{3} - (A x^{2}) + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.6.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.9.6.4.1

Mova $x$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A (x \cdot x) + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.6.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.6.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $A x$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - 1 \cdot (A x) + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.6.6

Reescreva $- 1 (A x)$ como $- (A x)$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - (A x) + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.6.7

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.9.6.7.1

Mova $x$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B (x \cdot x) + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.6.7.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.6.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $B$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} - 1 \cdot B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.6.9

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.7

Combine os termos opostos em $A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} - B$ .

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Etapa 1.1.9.7.1

Some $- A x^{2}$ e $A x^{2}$ .

$1 = A x^{3} + 0 - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.7.2

Some $A x^{3}$ e $0$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.8

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.1.9.8.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.8.2

Divida $(C) (x^{2} + 1) (x - 1)$ por $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + (C) (x^{2} + 1) (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.9

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + (C x^{2} + C \cdot 1) (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.10

Multiplique $C$ por $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + (C x^{2} + C) (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.11

Expanda $(C x^{2} + C) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.9.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{2} (x - 1) + C (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 1 + C (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.12

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.9.12.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.12.1.1

Mova $x$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.12.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.12.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.12.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{1 + 2} + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.12.1.3

Some $1$ e $2$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.12.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $C x^{2}$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - 1 \cdot (C x^{2}) + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.12.3

Reescreva $- 1 (C x^{2})$ como $- (C x^{2})$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - (C x^{2}) + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.12.4

Mova $- 1$ para a esquerda de $C$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - 1 \cdot C + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.12.5

Reescreva $- 1 C$ como $- C$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.13

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.13.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.9.13.2

Divida $(D) (x^{2} + 1) (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + (D) (x^{2} + 1) (x + 1)$

Etapa 1.1.9.14

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + (D x^{2} + D \cdot 1) (x + 1)$

Etapa 1.1.9.15

Multiplique $D$ por $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + (D x^{2} + D) (x + 1)$

Etapa 1.1.9.16

Expanda $(D x^{2} + D) (x + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{2} (x + 1) + D (x + 1)$

Etapa 1.1.9.16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{2} x + D x^{2} \cdot 1 + D (x + 1)$

Etapa 1.1.9.16.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{2} x + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Etapa 1.1.9.17

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.17.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.17.1.1

Mova $x$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D (x \cdot x^{2}) + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Etapa 1.1.9.17.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.17.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D (x \cdot x^{2}) + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Etapa 1.1.9.17.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{1 + 2} + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Etapa 1.1.9.17.1.3

Some $1$ e $2$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Etapa 1.1.9.17.2

Multiplique $D$ por $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D \cdot 1$

Etapa 1.1.9.17.3

Multiplique $D$ por $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D$

Etapa 1.1.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.10.1

Mova $A$ .

$1 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D$

Etapa 1.1.10.2

Reordene $B$ e $x^{2}$ .

$1 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D$

Etapa 1.1.10.3

Mova $- C$ .

$1 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x + D x^{3} + D x^{2} + D x - C + D$

Etapa 1.1.10.4

Mova $- B$ .

$1 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} + C x^{3} - C x^{2} + C x + D x^{3} + D x^{2} + D x - B - C + D$

Etapa 1.1.10.5

Mova $C x$ .

$1 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} + C x^{3} - C x^{2} + D x^{3} + D x^{2} + C x + D x - B - C + D$

Etapa 1.1.10.6

Mova $- 1 x A$ .

$1 = A x^{3} + B x^{2} + C x^{3} - C x^{2} + D x^{3} + D x^{2} - 1 x A + C x + D x - B - C + D$

Etapa 1.1.10.7

Mova $- C x^{2}$ .

$1 = A x^{3} + B x^{2} + C x^{3} + D x^{3} - C x^{2} + D x^{2} - 1 x A + C x + D x - B - C + D$

Etapa 1.1.10.8

Mova $B x^{2}$ .

$1 = A x^{3} + C x^{3} + D x^{3} + B x^{2} - C x^{2} + D x^{2} - 1 x A + C x + D x - B - C + D$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{3}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + C + D$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = B - 1 C + D$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 1 A + C + D$

Etapa 1.2.4

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.2.5

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + C + D$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = A + C + D$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $0 = A + C + D$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $A + C + D = 0$ .

$A + C + D = 0$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.1.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.1

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$A + D = - C$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.1.2.2

Subtraia $D$ dos dois lados da equação.

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- C - D$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = - 1 A + C + D$ por $- C - D$ .

$0 = - 1 (- C - D) + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique $- 1 (- C - D) + C + D$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = - 1 (- C) - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 1 (- C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 = 1 C - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.2.2.1.1.2.2

Multiplique $C$ por $1$ .

$0 = C - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = C - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1 (- D)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 = C + 1 D + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.2.2.1.1.3.2

Multiplique $D$ por $1$ .

$0 = C + D + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = C + D + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = C + D + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.2.1

Some $C$ e $C$ .

$0 = 2 C + D + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.2.2.1.2.2

Some $D$ e $D$ .

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.3

Resolva $C$ em $0 = 2 C + 2 D$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $2 C + 2 D = 0$ .

$2 C + 2 D = 0$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $2 D$ dos dois lados da equação.

$2 C = - 2 D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.3.3

Divida cada termo em $2 C = - 2 D$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $2 C = - 2 D$ por $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.3.3.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 D$ .

$C = \frac{2 (- D)}{2}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$C = \frac{2 (- D)}{2 (1)}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$C = \frac{2 (- D)}{2 \cdot 1}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$C = \frac{- D}{1}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.3.3.3.1.2.4

Divida $- D$ por $1$ .

$C = - D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $- D$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $A = - C - D$ por $- D$ .

$A = - (- D) - D$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $- (- D) - D$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1

Multiplique $- (- D)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1 D - D$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.4.2.1.1.2

Multiplique $D$ por $1$ .

$A = D - D$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$A = D - D$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Subtraia $D$ de $D$ .

$A = 0$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$A = 0$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$A = 0$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $0 = B - 1 C + D$ por $- D$ .

$0 = B - 1 (- D) + D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.4.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.4.1

Simplifique $B - 1 (- D) + D$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.4.1.1

Multiplique $- 1 (- D)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.4.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 = B + 1 D + D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.4.4.1.1.2

Multiplique $D$ por $1$ .

$0 = B + D + D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = B + D + D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.4.4.1.2

Some $D$ e $D$ .

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Etapa 1.3.4.5

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $1 = - 1 B - 1 C + D$ por $- D$ .

$1 = - 1 B - 1 (- D) + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.4.6

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.6.1

Simplifique $- 1 B - 1 (- D) + D$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.6.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.6.1.1.1

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$1 = - B - 1 (- D) + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.4.6.1.1.2

Multiplique $- 1 (- D)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.6.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 = - B + 1 D + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.4.6.1.1.2.2

Multiplique $D$ por $1$ .

$1 = - B + D + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - B + D + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - B + D + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.4.6.1.2

Some $D$ e $D$ .

$1 = - B + 2 D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - B + 2 D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - B + 2 D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - B + 2 D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.5

Resolva $B$ em $0 = B + 2 D$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Reescreva a equação como $B + 2 D = 0$ .

$B + 2 D = 0$

$1 = - B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.5.2

Subtraia $2 D$ dos dois lados da equação.

$B = - 2 D$

$1 = - B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$B = - 2 D$

$1 = - B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.6

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- 2 D$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $1 = - B + 2 D$ por $- 2 D$ .

$1 = - (- 2 D) + 2 D$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1

Simplifique $- (- 2 D) + 2 D$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$1 = 2 D + 2 D$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.6.2.1.2

Some $2 D$ e $2 D$ .

$1 = 4 D$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = 4 D$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = 4 D$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = 4 D$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.7

Resolva $D$ em $1 = 4 D$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1

Reescreva a equação como $4 D = 1$ .

$4 D = 1$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.7.2

Divida cada termo em $4 D = 1$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.1

Divida cada termo em $4 D = 1$ por $4$ .

$\frac{4 D}{4} = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 D}{4} = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.7.2.2.1.2

Divida $D$ por $1$ .

$D = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.8

Substitua todas as ocorrências de $D$ por $\frac{1}{4}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.1

Substitua todas as ocorrências de $D$ em $B = - 2 D$ por $\frac{1}{4}$ .

$B = - 2 (\frac{1}{4})$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.8.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.2.1

Simplifique $- 2 (\frac{1}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.2.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$B = 2 (- 1) (\frac{1}{4})$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.8.2.1.1.2

Fatore $2$ de $4$ .

$B = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.8.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$B = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.8.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$B = - 1 (\frac{1}{2})$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

$B = - 1 (\frac{1}{2})$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.8.2.1.2

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

Etapa 1.3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $D$ em $C = - D$ por $\frac{1}{4}$ .

$C = - (\frac{1}{4})$

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

Etapa 1.3.8.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.8.4.1

Multiplique $- 1$ por $\frac{1}{4}$ .

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

Etapa 1.3.9

Liste todas as soluções.

$C = - \frac{1}{4}, B = - \frac{1}{2}, D = \frac{1}{4}, A = 0$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{0 x - \frac{1}{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $2$ .

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Etapa 1.5.1.1

Multiplique $\frac{0 \cdot x - \frac{1}{2}}{x^{2} + 1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{0 \cdot x - \frac{1}{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Etapa 1.5.1.2

Combine.

$\frac{2 (0 \cdot x - \frac{1}{2})}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (0 \cdot x) + 2 (- \frac{1}{2})}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$\frac{2 (0 \cdot x) + 2 (\frac{- 1}{2})}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Etapa 1.5.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (0 \cdot x) + 2 (\frac{- 1}{2})}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Etapa 1.5.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (0 \cdot x) - 1}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Etapa 1.5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.4.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0 \cdot x - 1}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Etapa 1.5.4.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$\frac{0 - 1}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Etapa 1.5.4.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Etapa 1.5.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.5.5.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 1}{2 (x^{2}) + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Etapa 1.5.5.1.2

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$\frac{- 1}{2 (x^{2}) + 2 (1)} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Etapa 1.5.5.1.3

Fatore $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{- 1}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Etapa 1.5.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Etapa 1.5.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Etapa 1.5.7

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} - \frac{1}{(x + 1) \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Etapa 1.5.8

Mova $4$ para a esquerda de $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} - \frac{1}{4 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Etapa 1.5.9

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} - \frac{1}{4 (x + 1)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Etapa 1.5.10

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int - \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} - \frac{1}{4 (x + 1)} + \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x) + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Etapa 5.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C$ .

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - \int \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Etapa 8

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Etapa 9

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 9.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 9.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Etapa 11

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 12

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 12.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 12.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 12.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 13

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 14

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \arctan (x) - \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 15

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 15.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 1$ .

$- \frac{1}{2} \arctan (x) - \frac{1}{4} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 15.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 1$ .

$- \frac{1}{2} \arctan (x) - \frac{1}{4} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 1 |) + C$