Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Reescreva ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} ((x + 2) (x + 2))]$

Etapa 1.1.1.2

Expanda $(x + 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x (x + 2) + 2 (x + 2))]$

Etapa 1.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))]$

Etapa 1.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Etapa 1.1.1.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Etapa 1.1.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)]$

Etapa 1.1.1.3.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 4 x + 4)]$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(x + 1)}^{3}$ e $g (x) = x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Etapa 1.1.1.5

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

${(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Etapa 1.1.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Etapa 1.1.1.5.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Etapa 1.1.1.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Etapa 1.1.1.5.5

Multiplique $4$ por $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Etapa 1.1.1.5.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + 0) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Etapa 1.1.1.5.7

Some $2 x + 4$ e $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Etapa 1.1.1.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 1.1.1.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 1.1.1.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 1.1.1.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 1.1.1.7

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.7.1

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 \cdot (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.1.1.7.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.1.1.7.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.1.1.7.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + 0)$

Etapa 1.1.1.7.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.7.5.1

Some $1$ e $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \cdot 1$

Etapa 1.1.1.7.5.2

Multiplique $3$ por $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2}$

Etapa 1.1.1.8

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Etapa 1.1.1.8.2

Multiplique $4$ por $3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Etapa 1.1.1.8.3

Multiplique $3$ por $4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Etapa 1.1.1.8.4

Fatore ${(x + 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.1.1.8.4.1

Fatore ${(x + 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4)$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Etapa 1.1.1.8.4.2

Fatore ${(x + 1)}^{2}$ de $(3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.4.3

Fatore ${(x + 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.5

Reescreva ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x + 1) (x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.6

Expanda $(x + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.1.8.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x (x + 1) + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.1.8.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1.8.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.7.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.7.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.7.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.7.2

Some $x$ e $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.8.8.1

Expanda $(x + 1) (2 x + 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.8.8.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x + 4) + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.8.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.8.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.8.8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.8.8.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.8.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.8.8.2.1.2.1

Mova $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.8.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.8.2.1.3

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.8.2.1.4

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.8.2.1.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.8.2.2

Some $4 x$ e $2 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 6 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.9

Some $2 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 6 x + 4 + 12 x + 12)$

Etapa 1.1.1.8.10

Some $6 x$ e $12 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 4 + 12)$

Etapa 1.1.1.8.11

Some $4$ e $12$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$

Etapa 1.1.1.8.12

Expanda $(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.8.13.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.8.13.2.1

Mova $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 x^{2 + 2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.2.3

Some $2$ e $2$ .

$5 x^{4} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x^{4} + 18 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.8.13.4.1

Mova $x$ .

$5 x^{4} + 18 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.1.8.13.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 x^{4} + 18 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 x^{4} + 18 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.4.3

Some $1$ e $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.5

Mova $16$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 \cdot x^{2} + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x \cdot x^{2} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.7

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.8.13.7.1

Mova $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.8.13.7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x^{1}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{2 + 1} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.7.3

Some $2$ e $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.8

Multiplique $2$ por $5$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x \cdot x + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.10

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.8.13.10.1

Mova $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 (x \cdot x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.10.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.11

Multiplique $2$ por $18$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.12

Multiplique $16$ por $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.13

Multiplique $5 x^{2}$ por $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.14

Multiplique $18 x$ por $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 1 \cdot 16$

Etapa 1.1.1.8.13.15

Multiplique $16$ por $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Etapa 1.1.1.8.14

Some $18 x^{3}$ e $10 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 16 x^{2} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Etapa 1.1.1.8.15

Some $16 x^{2}$ e $36 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 52 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Etapa 1.1.1.8.16

Some $52 x^{2}$ e $5 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 32 x + 18 x + 16$

Etapa 1.1.1.8.17

Some $32 x$ e $18 x$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Como $28$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $28 x^{3}$ em relação a $x$ é $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$20 x^{3} + 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $3$ por $28$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [57 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Como $57$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $57 x^{2}$ em relação a $x$ é $57 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 (2 x) + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.1.2.4.3

Multiplique $2$ por $57$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.1.2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [50 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Como $50$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $50 x$ em relação a $x$ é $50 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.1.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.1.2.5.3

Multiplique $50$ por $1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + 0$

Etapa 1.1.2.6.2

Some $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ e $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $2$ de $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $2$ de $20 x^{3}$ .

$2 (10 x^{3}) + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $2$ de $84 x^{2}$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 114 x + 50 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $2$ de $114 x$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 50 = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Fatore $2$ de $50$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $2$ de $2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2})$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

Etapa 1.2.2.1.6

Fatore $2$ de $2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x)$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25) = 0$

Etapa 1.2.2.1.7

Fatore $2$ de $2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25)$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore.

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Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.1, \pm 0.5, \pm 0.2, \pm 25, \pm 2.5, \pm 12.5, \pm 5$

Etapa 1.2.2.2.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.2.2.2.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

$10 {(- 1)}^{3} + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Etapa 1.2.2.2.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$10 \cdot - 1 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Etapa 1.2.2.2.1.3.3

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$- 10 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Etapa 1.2.2.2.1.3.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 10 + 42 \cdot 1 + 57 \cdot - 1 + 25$

Etapa 1.2.2.2.1.3.5

Multiplique $42$ por $1$ .

$- 10 + 42 + 57 \cdot - 1 + 25$

Etapa 1.2.2.2.1.3.6

Some $- 10$ e $42$ .

$32 + 57 \cdot - 1 + 25$

Etapa 1.2.2.2.1.3.7

Multiplique $57$ por $- 1$ .

$32 - 57 + 25$

Etapa 1.2.2.2.1.3.8

Subtraia $57$ de $32$ .

$- 25 + 25$

Etapa 1.2.2.2.1.3.9

Some $- 25$ e $25$ .

$0$

Etapa 1.2.2.2.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25}{x + 1}$

Etapa 1.2.2.2.1.5

Divida $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ por $x + 1$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$42 x^{2}$

$57 x$

$25$

Etapa 1.2.2.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $10 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$10 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$

Etapa 1.2.2.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			+	$10 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $10 x^{3} + 10 x^{2}$ .

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

Etapa 1.2.2.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $32 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

Etapa 1.2.2.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					+	$32 x^{2}$	+	$32 x$

Etapa 1.2.2.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $32 x^{2} + 32 x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$

Etapa 1.2.2.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$

Etapa 1.2.2.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

Etapa 1.2.2.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $25 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

Etapa 1.2.2.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							+	$25 x$	+	$25$

Etapa 1.2.2.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $25 x + 25$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$

Etapa 1.2.2.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$
										$0$

Etapa 1.2.2.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$10 x^{2} + 32 x + 25$

Etapa 1.2.2.2.1.6

Escreva $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ como um conjunto de fatores.

$2 ((x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.5

Defina $10 x^{2} + 32 x + 25$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $10 x^{2} + 32 x + 25$ como igual a $0$ .

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2.5.2.2

Substitua os valores $a = 10$ , $b = 32$ e $c = 25$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (10 \cdot 25)}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.3.1.1

Eleve $32$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 40$ por $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.3

Subtraia $1000$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.4

Reescreva $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Etapa 1.2.5.2.3.3

Simplifique $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Etapa 1.2.5.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1.1

Eleve $32$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.2.2

Multiplique $- 40$ por $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.3

Subtraia $1000$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.4

Reescreva $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1.4.1

Fatore $4$ de $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Etapa 1.2.5.2.4.3

Simplifique $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Etapa 1.2.5.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 16 + \sqrt{6}}{10}$

Etapa 1.2.5.2.4.5

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 + \sqrt{6}}{10}$

Etapa 1.2.5.2.4.6

Fatore $- 1$ de $\sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - 1 (- \sqrt{6})}{10}$

Etapa 1.2.5.2.4.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (16) - 1 (- \sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (16 - \sqrt{6})}{10}$

Etapa 1.2.5.2.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}$

Etapa 1.2.5.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.5.1.1

Eleve $32$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.2.2

Multiplique $- 40$ por $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.3

Subtraia $1000$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.4

Reescreva $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.5.1.4.1

Fatore $4$ de $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Etapa 1.2.5.2.5.2

Multiplique $2$ por $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Etapa 1.2.5.2.5.3

Simplifique $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Etapa 1.2.5.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 16 - \sqrt{6}}{10}$

Etapa 1.2.5.2.5.5

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - \sqrt{6}}{10}$

Etapa 1.2.5.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - (\sqrt{6})}{10}$

Etapa 1.2.5.2.5.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (16) - (\sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (16 + \sqrt{6})}{10}$

Etapa 1.2.5.2.5.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Etapa 1.2.5.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}) \cup (- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}) \cup (- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = 20 {(- 4)}^{3} + 84 {(- 4)}^{2} + 114 (- 4) + 50$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = 20 \cdot - 64 + 84 {(- 4)}^{2} + 114 (- 4) + 50$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $20$ por $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 84 {(- 4)}^{2} + 114 (- 4) + 50$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 84 \cdot 16 + 114 (- 4) + 50$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $84$ por $16$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 1344 + 114 (- 4) + 50$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $114$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 1344 - 456 + 50$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Some $- 1280$ e $1344$ .

$f'' (- 4) = 64 - 456 + 50$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $456$ de $64$ .

$f'' (- 4) = - 392 + 50$

Etapa 4.2.2.3

Some $- 392$ e $50$ .

$f'' (- 4) = - 342$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 342$ .

$- 342$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10})$ porque $f'' (- 4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.6$ na expressão.

$f'' (- 1.6) = 20 {(- 1.6)}^{3} + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 1.6$ à potência de $3$ .

$f'' (- 1.6) = 20 \cdot - 4.096 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $20$ por $- 4.096$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 1.6$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 \cdot 2.56 + 114 (- 1.6) + 50$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $84$ por $2.56$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 + 114 (- 1.6) + 50$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $114$ por $- 1.6$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 - 182.4 + 50$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $- 81.92$ e $215.04$ .

$f'' (- 1.6) = 133.12 - 182.4 + 50$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $182.4$ de $133.12$ .

$f'' (- 1.6) = - 49.28 + 50$

Etapa 5.2.2.3

Some $- 49.28$ e $50$ .

$f'' (- 1.6) = 0.72$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $0.72$ .

$0.72$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10})$ porque $f'' (- 1.6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.18$ na expressão.

$f'' (- 1.18) = 20 {(- 1.18)}^{3} + 84 {(- 1.18)}^{2} + 114 (- 1.18) + 50$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1.18$ à potência de $3$ .

$f'' (- 1.18) = 20 \cdot - 1.643032 + 84 {(- 1.18)}^{2} + 114 (- 1.18) + 50$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $20$ por $- 1.643032$ .

$f'' (- 1.18) = - 32.86064 + 84 {(- 1.18)}^{2} + 114 (- 1.18) + 50$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 1.18$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.18) = - 32.86064 + 84 \cdot 1.3924 + 114 (- 1.18) + 50$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $84$ por $1.3924$ .

$f'' (- 1.18) = - 32.86064 + 116.9616 + 114 (- 1.18) + 50$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $114$ por $- 1.18$ .

$f'' (- 1.18) = - 32.86064 + 116.9616 - 134.52 + 50$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $- 32.86064$ e $116.9616$ .

$f'' (- 1.18) = 84.10096 - 134.52 + 50$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $134.52$ de $84.10096$ .

$f'' (- 1.18) = - 50.41904 + 50$

Etapa 6.2.2.3

Some $- 50.41904$ e $50$ .

$f'' (- 1.18) = - 0.41904$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 0.41904$ .

$- 0.41904$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1)$ porque $f'' (- 1.18)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(- 1, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 20 {(0)}^{3} + 84 {(0)}^{2} + 114 (0) + 50$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 20 \cdot 0 + 84 {(0)}^{2} + 114 (0) + 50$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $20$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 84 {(0)}^{2} + 114 (0) + 50$

Etapa 7.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 0 + 84 \cdot 0 + 114 (0) + 50$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $84$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 114 (0) + 50$

Etapa 7.2.1.5

Multiplique $114$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 0 + 50$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 50$

Etapa 7.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 + 50$

Etapa 7.2.2.3

Some $0$ e $50$ .

$f'' (0) = 50$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $50$ .

$50$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 1, \infty)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9