Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x + 2}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x + 2$ e $g (x) = {(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 2] - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 2] - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 2] - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 + 0) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.7.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 2 - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.7.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 4$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 4$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.4.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) (1 + 0))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.4.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) \cdot 1)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.4.5.2

Multiplique $x + 4$ por $1$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.1

Reescreva ${(x + 4)}^{2}$ como $(x + 4) (x + 4)$ .

$\frac{2 ((x + 4) (x + 4)) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.2

Expanda $(x + 4) (x + 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x (x + 4) + 4 (x + 4)) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.3.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.3.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.3.2

Some $4 x$ e $4 x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8 x + 16) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 16 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.5.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 2 \cdot 16 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.5.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.6.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 + (- 4 x - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.6.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 + (- 4 x - 4) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.7

Expanda $(- 4 x - 4) (x + 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x (x + 4) - 4 (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 4 - 4 (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.8.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.8.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.8.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 4 x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.8.1.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 16 x - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.8.1.3

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 16 x - 4 x - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.8.2

Subtraia $4 x$ de $- 16 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 20 x - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.2

Subtraia $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 16 x + 32 - 20 x - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.3

Subtraia $20 x$ de $16 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x + 32 - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.4

Subtraia $16$ de $32$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x + 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.3.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} - 4 x + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) - 4 x + 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.3.1.2

Fatore $2$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (- 2 x) + 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.3.1.3

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.3.1.4

Fatore $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (- 2 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 2 x) + 2 (8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.3.1.5

Fatore $2$ de $2 (- x^{2} - 2 x) + 2 (8)$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 2 x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.3.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.3.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ e cuja soma é $b = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.3.2.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 2 (x) + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.3.2.1.2

Reescreva $- 2$ como $2$ mais $- 4$

$\frac{2 (- x^{2} + (2 - 4) x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.3.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} + 2 x - 4 x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.3.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{2 ((- x^{2} + 2 x) - 4 x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.3.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{2 (x (- x + 2) + 4 (- x + 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.3.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 2$ .

$\frac{2 ((- x + 2) (x + 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

$\frac{2 (- x + 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.4

Cancele o fator comum de $x + 4$ e ${(x + 4)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.4.1

Fatore $x + 4$ de $2 (- x + 2) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) (2 (- x + 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.4.2.1

Fatore $x + 4$ de ${(x + 4)}^{4}$ .

$\frac{(x + 4) (2 (- x + 2))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.1.5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 4) (2 (- x + 2))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.1.5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (- x + 2)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.1.5.5

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 2)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.1.5.6

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 2))}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.1.5.7

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (x - 2))}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.1.5.8

Reescreva $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 2))}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.1.5.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{2 (x - 2)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2 (x - 2)}{{(x + 4)}^{3}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{{(x + 4)}^{3}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{{(x + 4)}^{3}}]$

Etapa 1.1.2.2

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{({(x + 4)}^{3})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 4)}^{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{3 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.3.5.2

Multiplique ${(x + 4)}^{3}$ por $1$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 4$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 4$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Fatore ${(x + 4)}^{2}$ de ${(x + 4)}^{3} - 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.2.1

Fatore ${(x + 4)}^{2}$ de ${(x + 4)}^{3}$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) - 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.5.2.2

Fatore ${(x + 4)}^{2}$ de $- 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.5.2.3

Fatore ${(x + 4)}^{2}$ de ${(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Fatore ${(x + 4)}^{2}$ de ${(x + 4)}^{6}$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Cancele o fator comum.

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.6.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.10

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.10.1

Some $1$ e $0$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) \cdot 1}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.10.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.10.3

Combine $- 2$ e $\frac{x + 4 - 3 (x - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$\frac{- 2 (x + 4 - 3 (x - 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.10.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 (x + 4 - 3 (x - 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (x + 4 - 3 x - 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 x + 2 \cdot 4 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.11.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.11.3.1.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$- \frac{2 x + 8 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.3.1.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$- \frac{2 x + 8 - 6 x + 2 (- 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.3.1.3

Multiplique $2 (- 3 \cdot - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.11.3.1.3.1

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$- \frac{2 x + 8 - 6 x + 2 \cdot 6}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.3.1.3.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$- \frac{2 x + 8 - 6 x + 12}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.3.2

Subtraia $6 x$ de $2 x$ .

$- \frac{- 4 x + 8 + 12}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.3.3

Some $8$ e $12$ .

$- \frac{- 4 x + 20}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.4

Fatore $4$ de $- 4 x + 20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.11.4.1

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$- \frac{4 (- x) + 20}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.4.2

Fatore $4$ de $20$ .

$- \frac{4 (- x) + 4 (5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.4.3

Fatore $4$ de $4 (- x) + 4 (5)$ .

$- \frac{4 (- x + 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.5

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$- \frac{4 (- (x) + 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.6

Reescreva $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$- \frac{4 (- (x) - 1 (- 5))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.7

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 5)$ .

$- \frac{4 (- (x - 5))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.8

Reescreva $- (x - 5)$ como $- 1 (x - 5)$ .

$- \frac{4 (- 1 (x - 5))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.11

Multiplique $\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 (x - 5) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $4 (x - 5) = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Divida cada termo em $4 (x - 5) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (x - 5)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 1.2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (x - 5)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 1.2.3.1.2.1.2

Divida $x - 5$ por $1$ .

$x - 5 = \frac{0}{4}$

Etapa 1.2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{2 x + 2}{{(x + 4)}^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{2 x + 2}{{(x + 4)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 2.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 4}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 4}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 5) \cup (5, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 4)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f'' (- 6) = \frac{4 ((- 6) - 5)}{{((- 6) + 4)}^{4}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $5$ de $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{{(- 6 + 4)}^{4}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Some $- 6$ e $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{{(- 2)}^{4}}$

Etapa 4.2.2.2

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{16}$

Etapa 4.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Multiplique $4$ por $- 11$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 44}{16}$

Etapa 4.2.3.2

Cancele o fator comum de $- 44$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Fatore $4$ de $- 44$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 (- 11)}{16}$

Etapa 4.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{4 \cdot 4}$

Etapa 4.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{4 \cdot 4}$

Etapa 4.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 6) = \frac{- 11}{4}$

Etapa 4.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 6) = - \frac{11}{4}$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $- \frac{11}{4}$ .

$- \frac{11}{4}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 4)$ porque $f'' (- 6)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 4, 5)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{4 ((0) - 5)}{{((0) + 4)}^{4}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Subtraia $5$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{{(0 + 4)}^{4}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $0$ e $4$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{4^{4}}$

Etapa 5.2.2.2

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{256}$

Etapa 5.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$f'' (0) = \frac{- 20}{256}$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum de $- 20$ e $256$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $4$ de $- 20$ .

$f'' (0) = \frac{4 (- 5)}{256}$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.2.1

Fatore $4$ de $256$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 64}$

Etapa 5.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 64}$

Etapa 5.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{- 5}{64}$

Etapa 5.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0) = - \frac{5}{64}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $- \frac{5}{64}$ .

$- \frac{5}{64}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 4, 5)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 4, 5)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(5, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f'' (8) = \frac{4 ((8) - 5)}{{((8) + 4)}^{4}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Subtraia $5$ de $8$ .

$f'' (8) = \frac{4 \cdot 3}{{(8 + 4)}^{4}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $8$ e $4$ .

$f'' (8) = \frac{4 \cdot 3}{12^{4}}$

Etapa 6.2.2.2

Eleve $12$ à potência de $4$ .

$f'' (8) = \frac{4 \cdot 3}{20736}$

Etapa 6.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$f'' (8) = \frac{12}{20736}$

Etapa 6.2.3.2

Cancele o fator comum de $12$ e $20736$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1

Fatore $12$ de $12$ .

$f'' (8) = \frac{12 (1)}{20736}$

Etapa 6.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.1

Fatore $12$ de $20736$ .

$f'' (8) = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 1728}$

Etapa 6.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (8) = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 1728}$

Etapa 6.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (8) = \frac{1}{1728}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{1}{1728}$ .

$\frac{1}{1728}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(5, \infty)$ porque $f'' (8)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(5, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para baixo em $(- 4, 5)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(5, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8