Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2 x} \frac{t^{2}}{t^{2} + 1} d t$

Etapa 1

Calcule a derivada de $\int_{1}^{2 x} \frac{t^{2}}{t^{2} + 1} d t$ com relação a $x$ usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia.

$\frac{d}{d x} [2 x] \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Etapa 2.3

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Etapa 2.3.2

Fatore $2$ de $2 x$ .

$2 \frac{{(2 (x))}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Etapa 2.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.3.1

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$2 \frac{2^{2} x^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Etapa 2.3.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$2 \frac{4 x^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Etapa 2.3.4

Fatore $2$ de $2 x$ .

$2 \frac{4 x^{2}}{{(2 (x))}^{2} + 1}$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$2 \frac{4 x^{2}}{2^{2} x^{2} + 1}$

Etapa 2.3.5.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$2 \frac{4 x^{2}}{4 x^{2} + 1}$

Etapa 2.3.6

Combine $2$ e $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 (4 x^{2})}{4 x^{2} + 1}$

Etapa 2.3.7

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8 x^{2}}{4 x^{2} + 1}$