Cálculo Exemplos

$\int_{- x}^{x} (t^{2} + t) d t$

Etapa 1

Divida a integral em duas integrais, em que $c$ é um valor entre $- x$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t + \int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t + \int_{c}^{x} t^{2} + t d t$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Etapa 3

Troque os limites de integração.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{- x} t^{2} + t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Etapa 4

Calcule a derivada de $- \int_{c}^{- x} t^{2} + t d t$ com relação a $x$ usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia.

$\frac{d}{d x} [- x] (- ({(- x)}^{2} - x)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] (- ({(- x)}^{2} - x)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 (- ({(- x)}^{2} - x)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Etapa 5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- - ({(- x)}^{2} - x) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Etapa 6

Calcule a derivada de $\int_{c}^{x} t^{2} + t d t$ com relação a $x$ usando o teorema fundamental do cálculo.

$- - ({(- x)}^{2} - x) + x^{2} + x$

Etapa 7

Simplifique os termos.

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Etapa 7.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$- - ({(- (x))}^{2} - x) + x^{2} + x$

Etapa 7.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.2.1

Aplique a regra do produto a $- (x)$ .

$- - ({(- 1)}^{2} x^{2} - x) + x^{2} + x$

Etapa 7.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- - (1 x^{2} - x) + x^{2} + x$

Etapa 7.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$- - (x^{2} - x) + x^{2} + x$

Etapa 7.2.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (x^{2} - x) + x^{2} + x$

Etapa 7.2.5

Multiplique $x^{2} - x$ por $1$ .

$x^{2} - x + x^{2} + x$

Etapa 7.3

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{2} - x + x$

Etapa 7.4

Some $- x$ e $x$ .

$2 x^{2} + 0$

Etapa 7.5

Some $2 x^{2}$ e $0$ .

$2 x^{2}$