Cálculo Exemplos

$y = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1

Escreva $y = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ como uma função.

$f (x) = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{1}{3}}] + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 12 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $12 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $12 - x$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.7.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(12 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(12 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.7.3

Mova ${(12 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.7.4

Combine $\frac{1}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [12 - x] + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.9

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.13

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.13.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 1 + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.13.2

Combine $\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ e $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.13.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.13.3.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.13.3.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{- x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.13.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Etapa 2.1.15

Multiplique ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.1.16

Para escrever ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.17

Combine ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(12 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.19

Multiplique ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.19.1

Mova ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{2}{3}} {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.19.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.19.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.19.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.19.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{- x + {(12 - x)}^{1} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.20

Simplifique ${(12 - x)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{- x + (12 - x) \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.21

Mova $3$ para a esquerda de $12 - x$ .

$\frac{- x + 3 \cdot (12 - x)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.22

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.22.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x + 3 \cdot 12 + 3 (- x)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.22.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.22.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.22.2.1.1

Multiplique $3$ por $12$ .

$\frac{- x + 36 + 3 (- x)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.22.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- x + 36 - 3 x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.22.2.2

Subtraia $3 x$ de $- x$ .

$\frac{- 4 x + 36}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.22.3

Fatore $4$ de $- 4 x + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.22.3.1

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 36}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.22.3.2

Fatore $4$ de $36$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.22.3.3

Fatore $4$ de $4 (- x) + 4 (9)$ .

$\frac{4 (- x + 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.22.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.22.5

Reescreva $9$ como $- 1 (- 9)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 9))}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.22.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 9)$ .

$\frac{4 (- (x - 9))}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.22.7

Reescreva $- (x - 9)$ como $- 1 (x - 9)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 9))}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.22.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{4 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- \frac{4}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{4 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x - 9}{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x - 9}{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 9$ e $g (x) = {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 9] - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{({(12 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(12 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 9] - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.3.1.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $2$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 9] - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Etapa 2.2.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 9] - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.3.4

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0) - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1 - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.3.5.2

Multiplique ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 12 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $12 - x$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $12 - x$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.6

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.8.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.9

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.9.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(12 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2 {(12 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.9.3

Mova ${(12 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.11

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.12

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.13

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.14

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.14.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + 1 (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.14.2

Multiplique $x - 9$ por $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.16

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.16.1

Multiplique $x - 9$ por $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.16.2

Multiplique $\frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ por $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}) \cdot 4}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Etapa 2.2.16.3

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.16.3.1

Mova $4$ para a esquerda de ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 \cdot ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Etapa 2.2.16.3.2

Mova $3$ para a esquerda de ${(12 - x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 \cdot {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{4 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.17.2.1

Fatore $4$ de $4 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.17.2.1.1

Fatore $4$ de $4 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.1.2

Fatore $4$ de $4 (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 ((x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.1.3

Fatore $4$ de $4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 ((x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.2

Multiplique $x - 9$ por $\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{(x - 9) \cdot 2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $x - 9$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 \cdot (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.4

Para escrever ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.5

Combine ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 (\frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{4 \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.7

Reescreva $\frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.17.2.7.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}} {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.7.2

Multiplique ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.17.2.7.2.1

Mova ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4 \frac{3 ({(12 - x)}^{\frac{1}{3}} {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.7.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.7.2.4

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{3}{3}} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.7.2.5

Divida $3$ por $3$ .

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{1} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.7.3

Simplifique $3 {(12 - x)}^{1}$ .

$- \frac{4 \frac{3 (12 - x) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{4 \frac{3 \cdot 12 + 3 (- x) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.7.5

Multiplique $3$ por $12$ .

$- \frac{4 \frac{36 + 3 (- x) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.7.6

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- \frac{4 \frac{36 - 3 x + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.7.7

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{4 \frac{36 - 3 x + 2 x + 2 \cdot - 9}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.7.8

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$- \frac{4 \frac{36 - 3 x + 2 x - 18}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.7.9

Subtraia $18$ de $36$ .

$- \frac{4 \frac{- 3 x + 2 x + 18}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.2.7.10

Some $- 3 x$ e $2 x$ .

$- \frac{4 \frac{- x + 18}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.17.3.1

Combine $4$ e $\frac{- x + 18}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{\frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.3.2

Reescreva $\frac{\frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ como um produto.

$- (\frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}})$

Etapa 2.2.17.3.3

Multiplique $\frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{1}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 2.2.17.3.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17.3.5

Multiplique ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(12 - x)}^{\frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.17.3.5.1

Mova ${(12 - x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 ({(12 - x)}^{\frac{4}{3}} {(12 - x)}^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 2.2.17.3.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Etapa 2.2.17.3.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Etapa 2.2.17.3.5.4

Some $4$ e $1$ .

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 2.2.17.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$- \frac{4 (- (x) + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 2.2.17.5

Reescreva $18$ como $- 1 (- 18)$ .

$- \frac{4 (- (x) - 1 (- 18))}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 2.2.17.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 18)$ .

$- \frac{4 (- (x - 18))}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 2.2.17.7

Reescreva $- (x - 18)$ como $- 1 (x - 18)$ .

$- \frac{4 (- 1 (x - 18))}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 2.2.17.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 2.2.17.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 2.2.17.10

Multiplique $\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 (x - 18) = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $4 (x - 18) = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Divida cada termo em $4 (x - 18) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (x - 18)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (x - 18)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 3.3.1.2.1.2

Divida $x - 18$ por $1$ .

$x - 18 = \frac{0}{4}$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x - 18 = 0$

Etapa 3.3.2

Some $18$ aos dois lados da equação.

$x = 18$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $18$ em $f (x) = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $18$ na expressão.

$f (18) = (18) {(12 - (18))}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $18$ .

$f (18) = 18 {(12 - 18)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $18$ de $12$ .

$f (18) = 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $18$ em $f (x) = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ é $(18, 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(18, 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 18) \cup (18, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 18)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $17.9$ na expressão.

$f'' (17.9) = \frac{4 ((17.9) - 18)}{9 {(12 - (17.9))}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Subtraia $18$ de $17.9$ .

$f'' (17.9) = \frac{4 \cdot - 0.1}{9 {(12 - (17.9))}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $17.9$ .

$f'' (17.9) = \frac{4 \cdot - 0.1}{9 {(12 - 17.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $17.9$ de $12$ .

$f'' (17.9) = \frac{4 \cdot - 0.1}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $4$ por $- 0.1$ .

$f'' (17.9) = \frac{- 0.4}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (17.9) = - \frac{0.4}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- \frac{0.4}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{0.4}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.3

Em $17.9$ , a segunda derivada é $0.00230708$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, 18)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 18)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(18, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $18.1$ na expressão.

$f'' (18.1) = \frac{4 ((18.1) - 18)}{9 {(12 - (18.1))}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Subtraia $18$ de $18.1$ .

$f'' (18.1) = \frac{4 \cdot 0.1}{9 {(12 - (18.1))}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $18.1$ .

$f'' (18.1) = \frac{4 \cdot 0.1}{9 {(12 - 18.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $18.1$ de $12$ .

$f'' (18.1) = \frac{4 \cdot 0.1}{9 {(- 6.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.2.3

Multiplique $4$ por $0.1$ .

$f'' (18.1) = \frac{0.4}{9 {(- 6.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $\frac{0.4}{9 {(- 6.1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{0.4}{9 {(- 6.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.3

Em $18.1$ , a segunda derivada é $- 0.0021824$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(18, \infty)$ .

Decréscimo em $(18, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(18, 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}})$ .

$(18, 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 9