Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{x} + \sqrt{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 2.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 2.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Etapa 2.1.3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 2.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 2.1.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.4.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.2.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.2.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.2.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.2.10

Subtraia $4$ de $1$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.2.11

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.2.12

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.2.13

Some $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Etapa 2.2.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 2.2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.2.3.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.3.5.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.2.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.2.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.2.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 2.2.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 2.2.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 2.2.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 2.2.3.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 2.2.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 2.2.3.11

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 2.2.3.12

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Etapa 2.2.3.13

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.3.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Etapa 2.2.3.13.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Etapa 2.2.3.13.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Etapa 2.2.3.13.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Etapa 2.2.3.13.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.3.13.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Etapa 2.2.3.13.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Etapa 2.2.3.13.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 2.2.3.14

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 2.2.3.15

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$2 x^{- 3} - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 2.2.3.16

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x^{- 3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.2.4.2

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$

Etapa 3.2.2

Como $x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$ .

Etapa 3.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.2.5

$4$ tem fatores de $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2$

Etapa 3.2.6

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.2.7

O MMC de $1, 4, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2 \cdot 2$

Etapa 3.2.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$4$

Etapa 3.2.9

O MMC de $x^{3}, x^{\frac{3}{2}}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x^{3}$

Etapa 3.2.10

O MMC de $x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$ é a parte numérica $4$ multiplicada pela parte variável.

$4 x^{3}$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ por $4 x^{3}$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ por $4 x^{3}$ .

$\frac{2}{x^{3}} (4 x^{3}) - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \frac{2}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $4 \frac{2}{x^{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Combine $4$ e $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Etapa 3.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Etapa 3.3.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$8 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Etapa 3.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $x^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ para o numerador.

$8 + \frac{- 1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Etapa 3.3.2.1.4.2

Fatore $x^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ de $4 x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 (1)} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Etapa 3.3.2.1.4.3

Fatore $x^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ de $4 x^{3}$ .

$8 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 (1)} (x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 (x^{\frac{3}{2}})) = 0 (4 x^{3})$

Etapa 3.3.2.1.4.4

Cancele o fator comum.

$8 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 \cdot 1} (x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 x^{\frac{3}{2}}) = 0 (4 x^{3})$

Etapa 3.3.2.1.4.5

Reescreva a expressão.

$8 - x^{\frac{3}{2}} = 0 (4 x^{3})$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Multiplique $0 (4 x^{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$8 - x^{\frac{3}{2}} = 0 x^{3}$

Etapa 3.3.3.1.2

Multiplique $0$ por $x^{3}$ .

$8 - x^{\frac{3}{2}} = 0$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$- x^{\frac{3}{2}} = - 8$

Etapa 3.4.2

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{2}{3}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(- x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Simplifique ${(- x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- x^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.3.1.1.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.3.1.1.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.3.1.1.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.3.1.1.3.2

Multiplique ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.3.1.1.3.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1.3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.3.1.1.3.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.3.1.1.3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.3.1.1.3.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1.3.3.3.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.3.1.1.3.3.3.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.3.1.1.4

Simplifique.

$x = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1

Simplifique ${(- 8)}^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.1.1

Reescreva $- 8$ como ${(- 2)}^{3}$ .

$x = {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.3.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 3.4.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x = {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 3.4.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x = {(- 2)}^{2}$

Etapa 3.4.3.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = 4$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $4$ em $f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = \frac{1}{4} + \sqrt{4}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (4) = \frac{1}{4} + \sqrt{2^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (4) = \frac{1}{4} + 2$

Etapa 4.1.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 4.1.2.3

Combine $2$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Etapa 4.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (4) = \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 4.1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (4) = \frac{1 + 8}{4}$

Etapa 4.1.2.5.2

Some $1$ e $8$ .

$f (4) = \frac{9}{4}$

Etapa 4.1.2.6

A resposta final é $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{4}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $4$ em $f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ é $(4, \frac{9}{4})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(4, \frac{9}{4})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 4)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3.9$ na expressão.

$f'' (3.9) = \frac{2}{{(3.9)}^{3}} - \frac{1}{4 {(3.9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $3.9$ à potência de $3$ .

$f'' (3.9) = \frac{2}{59.319} - \frac{1}{4 {(3.9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $2$ por $59.319$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 {(3.9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.2.1.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1

Reescreva $3.9$ como ${1.97484176}^{2}$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {({1.97484176}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {1.97484176}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 6.2.1.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {1.97484176}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 6.2.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {1.97484176}^{3}}$

Etapa 6.2.1.3.4

Eleve $1.97484176$ à potência de $3$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot 7.70188288}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $4$ por $7.70188288$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{30.80753154}$

Etapa 6.2.1.5

Divida $1$ por $30.80753154$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - 1 \cdot 0.03245959$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $0.03245959$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - 0.03245959$

Etapa 6.2.2

Subtraia $0.03245959$ de $0.03371601$ .

$f'' (3.9) = 0.00125641$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $0.00125641$ .

$0.00125641$

Etapa 6.3

Em $3.9$ , a segunda derivada é $0.00125641$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, 4)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 4)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(4, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $4.1$ na expressão.

$f'' (4.1) = \frac{2}{{(4.1)}^{3}} - \frac{1}{4 {(4.1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $4.1$ à potência de $3$ .

$f'' (4.1) = \frac{2}{68.921} - \frac{1}{4 {(4.1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $2$ por $68.921$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 {(4.1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2.1.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.3.1

Reescreva $4.1$ como ${2.02484567}^{2}$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {({2.02484567}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {2.02484567}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 7.2.1.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {2.02484567}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 7.2.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {2.02484567}^{3}}$

Etapa 7.2.1.3.4

Eleve $2.02484567$ à potência de $3$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot 8.30186725}$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $4$ por $8.30186725$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{33.20746903}$

Etapa 7.2.1.5

Divida $1$ por $33.20746903$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - 1 \cdot 0.0301137$

Etapa 7.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $0.0301137$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - 0.0301137$

Etapa 7.2.2

Subtraia $0.0301137$ de $0.02901873$ .

$f'' (4.1) = - 0.00109497$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 0.00109497$ .

$- 0.00109497$

Etapa 7.3

Em $4.1$ , a segunda derivada é $- 0.00109497$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(4, \infty)$ .

Decréscimo em $(4, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(4, \frac{9}{4})$ .

$(4, \frac{9}{4})$

Etapa 9