Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{49 x^{2} + 36}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 49 x^{2} + 36$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [49 x^{2} + 36] - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $49 x^{2} + 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.2

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49 x^{2}$ em relação a $x$ é $49 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (49 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x (49 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.4

Multiplique $2$ por $49$ .

$\frac{x (98 x + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.5

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (98 x + 0) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.6

Some $98 x$ e $0$ .

$\frac{x (98 x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{98 (x^{1} x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{98 (x^{1} x^{1}) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{98 x^{1 + 1} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36)}{x^{2}}$

Etapa 1.9

Simplifique.

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Etapa 1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2}) - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

Etapa 1.9.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.9.2.1.1

Multiplique $49$ por $- 1$ .

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

Etapa 1.9.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

Etapa 1.9.2.2

Subtraia $49 x^{2}$ de $98 x^{2}$ .

$\frac{49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

Etapa 1.9.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.9.3.1

Reescreva $49 x^{2}$ como ${(7 x)}^{2}$ .

$\frac{{(7 x)}^{2} - 36}{x^{2}}$

Etapa 1.9.3.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{{(7 x)}^{2} - 6^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.9.3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 7 x$ e $b = 6$ .

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((7 x + 6) (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((7 x + 6) (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((7 x + 6) (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 7 x + 6$ e $g (x) = 7 x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) \frac{d}{d x} (7 x - 6) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.5

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 + 0) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.6.1

Some $7$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) \cdot 7 + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.6.2

Mova $7$ para a esquerda de $7 x + 6$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 \cdot (7 x + 6) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.8

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.10

Multiplique $7$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.11

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 + 0)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.12.1

Some $7$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) \cdot 7) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.12.2

Mova $7$ para a esquerda de $7 x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 \cdot (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.4.14

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.4.14.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x}{x^{4}}$

Etapa 2.4.14.2

Fatore $x$ de $x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x$ .

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Etapa 2.4.14.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x}{x^{4}}$

Etapa 2.4.14.2.2

Fatore $x$ de $- 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))) + x (- 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x^{4}}$

Etapa 2.4.14.2.3

Fatore $x$ de $x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))) + x (- 2 (7 x + 6) (7 x - 6))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x^{4}}$

Etapa 2.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.5.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.5.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x) + 7 \cdot 6 + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x) + 7 \cdot 6 + 7 (7 x) + 7 \cdot - 6) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 \cdot 6) + x (7 (7 x)) + x (7 \cdot - 6) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 \cdot 6) + x (7 (7 x)) + x (7 \cdot - 6) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.5.1

Combine os termos opostos em $x (7 (7 x)) + x (7 \cdot 6) + x (7 (7 x)) + x (7 \cdot - 6) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)$ .

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Etapa 2.6.5.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x (7 \cdot 6)$ e $x (7 \cdot - 6)$ .

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + 6 \cdot (7 x) + x (7 (7 x)) - 6 \cdot (7 x) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.1.2

Subtraia $6 \cdot 7 x$ de $6 \cdot 7 x$ .

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 (7 x)) + 0 + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.1.3

Some $x (7 (7 x)) + x (7 (7 x))$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.5.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{7 \cdot (7 x \cdot x) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.5.2.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{7 \cdot (7 (x \cdot x)) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{7 \cdot (7 x^{2}) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.3

Multiplique $7$ por $7$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 7 \cdot (7 x \cdot x) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.5.2.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 7 \cdot (7 (x \cdot x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 7 \cdot (7 x^{2}) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.6

Multiplique $7$ por $7$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.5.2.7.1

Multiplique $7$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} + (- 14 x - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.7.2

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} + (- 14 x - 12) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.8

Expanda $(- 14 x - 12) (7 x - 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.6.5.2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 x (7 x - 6) - 12 (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 x (7 x) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 x (7 x) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.6.5.2.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.5.2.9.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 \cdot (7 x \cdot x) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.9.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.5.2.9.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 \cdot (7 (x \cdot x)) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.9.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 \cdot (7 x^{2}) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.9.1.3

Multiplique $- 14$ por $7$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.9.1.4

Multiplique $- 6$ por $- 14$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 84 x - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.9.1.5

Multiplique $7$ por $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 84 x - 84 x - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.9.1.6

Multiplique $- 12$ por $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 84 x - 84 x + 72}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.9.2

Subtraia $84 x$ de $84 x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 0 + 72}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.2.9.3

Some $- 98 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 72}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.3

Some $49 x^{2}$ e $49 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{98 x^{2} - 98 x^{2} + 72}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.4

Subtraia $98 x^{2}$ de $98 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 72}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5.5

Some $0$ e $72$ .

$f'' (x) = \frac{72}{x^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [49 x^{2} + 36] - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $49 x^{2} + 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.2.2

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49 x^{2}$ em relação a $x$ é $49 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (49 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x (49 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $2$ por $49$ .

$\frac{x (98 x + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.2.5

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (98 x + 0) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.2.6

Some $98 x$ e $0$ .

$\frac{x (98 x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{98 (x^{1} x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{98 (x^{1} x^{1}) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{98 x^{1 + 1} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 4.1.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36)}{x^{2}}$

Etapa 4.1.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2}) - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

Etapa 4.1.9.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.9.2.1.1

Multiplique $49$ por $- 1$ .

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

Etapa 4.1.9.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

Etapa 4.1.9.2.2

Subtraia $49 x^{2}$ de $98 x^{2}$ .

$\frac{49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

Etapa 4.1.9.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.9.3.1

Reescreva $49 x^{2}$ como ${(7 x)}^{2}$ .

$\frac{{(7 x)}^{2} - 36}{x^{2}}$

Etapa 4.1.9.3.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{{(7 x)}^{2} - 6^{2}}{x^{2}}$

Etapa 4.1.9.3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 7 x$ e $b = 6$ .

$f' (x) = \frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$ .

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$(7 x + 6) (7 x - 6) = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$7 x + 6 = 0$

$7 x - 6 = 0$

Etapa 5.3.2

Defina $7 x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Defina $7 x + 6$ como igual a $0$ .

$7 x + 6 = 0$

Etapa 5.3.2.2

Resolva $7 x + 6 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$7 x = - 6$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida cada termo em $7 x = - 6$ por $7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.1

Divida cada termo em $7 x = - 6$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 6}{7}$

Etapa 5.3.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 6}{7}$

Etapa 5.3.2.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{7}$

Etapa 5.3.2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{6}{7}$

Etapa 5.3.3

Defina $7 x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Defina $7 x - 6$ como igual a $0$ .

$7 x - 6 = 0$

Etapa 5.3.3.2

Resolva $7 x - 6 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$7 x = 6$

Etapa 5.3.3.2.2

Divida cada termo em $7 x = 6$ por $7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $7 x = 6$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{6}{7}$

Etapa 5.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 x}{7} = \frac{6}{7}$

Etapa 5.3.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{7}$

Etapa 5.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $(7 x + 6) (7 x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{6}{7}, \frac{6}{7}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{6}{7}, \frac{6}{7}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{6}{7}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{72}{{(- \frac{6}{7})}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{6}{7}$ .

$\frac{72}{{(- 1)}^{3} {(\frac{6}{7})}^{3}}$

Etapa 9.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{72}{- {(\frac{6}{7})}^{3}}$

Etapa 9.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{6}{7}$ .

$\frac{72}{- \frac{6^{3}}{7^{3}}}$

Etapa 9.1.4

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$\frac{72}{- \frac{216}{7^{3}}}$

Etapa 9.1.5

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$\frac{72}{- \frac{216}{343}}$

Etapa 9.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$72 (- \frac{343}{216})$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum de $72$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{343}{216}$ para o numerador.

$72 (\frac{- 343}{216})$

Etapa 9.3.2

Fatore $72$ de $216$ .

$72 \frac{- 343}{72 (3)}$

Etapa 9.3.3

Cancele o fator comum.

$72 \frac{- 343}{72 \cdot 3}$

Etapa 9.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 343}{3}$

Etapa 9.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{343}{3}$

Etapa 10

$x = - \frac{6}{7}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{6}{7}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - \frac{6}{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{6}{7}$ na expressão.

$f (- \frac{6}{7}) = \frac{49 {(- \frac{6}{7})}^{2} + 36}{- \frac{6}{7}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{6}{7}) = (49 {(- \frac{6}{7})}^{2} + 36) (- \frac{7}{6})$

Etapa 11.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{6}{7}$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 ({(- 1)}^{2} {(\frac{6}{7})}^{2}) + 36) (- \frac{7}{6})$

Etapa 11.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{6}{7}$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 ({(- 1)}^{2} (\frac{6^{2}}{7^{2}})) + 36) (- \frac{7}{6})$

Etapa 11.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (1 (\frac{6^{2}}{7^{2}})) + 36) (- \frac{7}{6})$

Etapa 11.2.2.3

Multiplique $\frac{6^{2}}{7^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{6^{2}}{7^{2}}) + 36) (- \frac{7}{6})$

Etapa 11.2.2.4

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{7^{2}}) + 36) (- \frac{7}{6})$

Etapa 11.2.2.5

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (- \frac{7}{6})$

Etapa 11.2.2.6

Cancele o fator comum de $49$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.6.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (- \frac{7}{6})$

Etapa 11.2.2.6.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{6}{7}) = (36 + 36) (- \frac{7}{6})$

Etapa 11.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Some $36$ e $36$ .

$f (- \frac{6}{7}) = 72 (- \frac{7}{6})$

Etapa 11.2.3.2

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{7}{6}$ para o numerador.

$f (- \frac{6}{7}) = 72 (\frac{- 7}{6})$

Etapa 11.2.3.2.2

Fatore $6$ de $72$ .

$f (- \frac{6}{7}) = 6 (12) (\frac{- 7}{6})$

Etapa 11.2.3.2.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{6}{7}) = 6 \cdot (12 (\frac{- 7}{6}))$

Etapa 11.2.3.2.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{6}{7}) = 12 \cdot - 7$

Etapa 11.2.3.3

Multiplique $12$ por $- 7$ .

$f (- \frac{6}{7}) = - 84$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $- 84$ .

$y = - 84$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{6}{7}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{72}{{(\frac{6}{7})}^{3}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{6}{7}$ .

$\frac{72}{\frac{6^{3}}{7^{3}}}$

Etapa 13.1.2

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$\frac{72}{\frac{216}{7^{3}}}$

Etapa 13.1.3

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$\frac{72}{\frac{216}{343}}$

Etapa 13.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$72 (\frac{343}{216})$

Etapa 13.3

Cancele o fator comum de $72$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Fatore $72$ de $216$ .

$72 \frac{343}{72 (3)}$

Etapa 13.3.2

Cancele o fator comum.

$72 \frac{343}{72 \cdot 3}$

Etapa 13.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{343}{3}$

Etapa 14

$x = \frac{6}{7}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{6}{7}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{6}{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{6}{7}$ na expressão.

$f (\frac{6}{7}) = \frac{49 {(\frac{6}{7})}^{2} + 36}{\frac{6}{7}}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{6}{7}) = (49 {(\frac{6}{7})}^{2} + 36) (\frac{7}{6})$

Etapa 15.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{6}{7}$ .

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{6^{2}}{7^{2}}) + 36) (\frac{7}{6})$

Etapa 15.2.2.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{7^{2}}) + 36) (\frac{7}{6})$

Etapa 15.2.2.3

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (\frac{7}{6})$

Etapa 15.2.2.4

Cancele o fator comum de $49$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (\frac{7}{6})$

Etapa 15.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6}{7}) = (36 + 36) (\frac{7}{6})$

Etapa 15.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Some $36$ e $36$ .

$f (\frac{6}{7}) = 72 (\frac{7}{6})$

Etapa 15.2.3.2

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.2.1

Fatore $6$ de $72$ .

$f (\frac{6}{7}) = 6 (12) (\frac{7}{6})$

Etapa 15.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6}{7}) = 6 \cdot (12 (\frac{7}{6}))$

Etapa 15.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6}{7}) = 12 \cdot 7$

Etapa 15.2.3.3

Multiplique $12$ por $7$ .

$f (\frac{6}{7}) = 84$

Etapa 15.2.4

A resposta final é $84$ .

$y = 84$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{49 x^{2} + 36}{x}$ .

$(- \frac{6}{7}, - 84)$ é um máximo local

$(\frac{6}{7}, 84)$ é um mínimo local

Etapa 17