Cálculo Exemplos

$f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

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Etapa 1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ como ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 2 - x^{3}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Etapa 1.2.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Etapa 1.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 1.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 1.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 1.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 1.2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 1.2.10.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 1.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 1.2.12

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

Etapa 1.2.13

Subtraia $3 x^{2}$ de $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

Etapa 1.2.14

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

Etapa 1.2.15

Combine $- 3$ e $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

Etapa 1.2.16

Combine $\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{2}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

Etapa 1.2.17

Mova ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.18

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.19

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.19.1

Fatore $3$ de $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 1.2.19.2

Cancele o fator comum.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.19.3

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.3

Reordene os termos.

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 2 - x^{3}$ .

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Etapa 2.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (2 - x^{3}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{3}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{3}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x^{3}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{3}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x^{3})))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

Etapa 2.2.10

Mova $2$ para a esquerda de ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.11

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.12

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.14.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.14.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{- 1}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.16

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} (0 - 3 x^{2})))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.17

Subtraia $3 x^{2}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} (- 3 x^{2})))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.18

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot (- 3 x^{2}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.19

Combine $- 3$ e $\frac{2 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{- 3 (2 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}})}{3} \cdot x^{2})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.20

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{- 6 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot x^{2})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.21

Combine $\frac{- 6 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{- 6 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} x^{2}}{3}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.22

Mova ${(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{- 6 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.23

Fatore $3$ de $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{3 (- 2 x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.24

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.24.1

Fatore $3$ de $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{3 (- 2 x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.24.2

Cancele o fator comum.

Etapa 2.2.24.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{- 2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.25

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (- \frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.26

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + 1 x^{2} (\frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.27

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + x^{2} (\frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.28

Combine $x^{2}$ e $\frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{2} (2 x^{2})}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.29

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.29.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{2} x^{2} \cdot 2}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.29.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{2 + 2} \cdot 2}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.29.3

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{4} \cdot 2}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.30

Mova $2$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 \cdot x^{4}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.31

Reordene $2$ e $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.32

Para escrever $2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.33

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.34

Multiplique ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.34.1

Mova ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x ({(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}}) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.34.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.34.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.34.4

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{3}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.34.5

Divida $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.35

Simplifique $2 x {(- x^{3} + 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.36

Multiplique os expoentes em ${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.36.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.36.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Etapa 2.2.36.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.36.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.37

Reescreva $\frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ como um produto.

$f'' (x) = - (\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}) + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.38

Multiplique $\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{1}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} {(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.39

Reordene os termos.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.40

Multiplique ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.40.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.40.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1 + 4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.40.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.41

Multiplique $\frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ por $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.42

Some $- \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3}) + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x \cdot x^{3} + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.2.2.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 (x^{3} x) + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Etapa 2.4.2.2.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 2.4.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 (x^{3} x) + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Etapa 2.4.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3 + 1} + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Etapa 2.4.2.2.3

Some $3$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Etapa 2.4.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 4 x + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Etapa 2.4.2.4

Some $- 2 x^{4}$ e $2 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 0}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Etapa 2.4.2.5

Some $4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Etapa 2.4.2.6

Some $- \frac{4 x}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ como ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 2 - x^{3}$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Etapa 4.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Etapa 4.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Etapa 4.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Etapa 4.1.2.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Etapa 4.1.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 4.1.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 4.1.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 4.1.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 4.1.2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 4.1.2.10.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 4.1.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 4.1.2.12

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

Etapa 4.1.2.13

Subtraia $3 x^{2}$ de $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

Etapa 4.1.2.14

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

Etapa 4.1.2.15

Combine $- 3$ e $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

Etapa 4.1.2.16

Combine $\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{2}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

Etapa 4.1.2.17

Mova ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.2.18

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.2.19

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.2.19.1

Fatore $3$ de $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 4.1.2.19.2

Cancele o fator comum.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.2.19.3

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.2.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.3

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

Etapa 5.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}} + 1$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

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Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}$ como ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(2 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

${(2 - x^{3})}^{2} = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Defina $2 - x^{3}$ como igual a $0$ .

$2 - x^{3} = 0$

Etapa 6.3.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x^{3} = - 2$

Etapa 6.3.3.2.2

Divida cada termo em $- x^{3} = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{3} = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{3}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{3}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.2.2.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x^{3} = 2$

Etapa 6.3.3.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{2}$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1, \sqrt[3]{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{4 (1)}{{(- {(1)}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$- \frac{4}{{(- 1^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{4}{{(- 1 \cdot 1 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{4}{{(- 1 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.2.2

Some $- 1$ e $2$ .

$- \frac{4}{1^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{4}{1}$

Etapa 9.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Divida $4$ por $1$ .

$- 1 \cdot 4$

Etapa 9.3.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4$

Etapa 10

$x = 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = (1) + \sqrt[3]{2 - {(1)}^{3}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 1}$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = 1 + \sqrt[3]{2 - 1}$

Etapa 11.2.1.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (1) = 1 + \sqrt[3]{1}$

Etapa 11.2.1.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (1) = 1 + 1$

Etapa 11.2.2

Some $1$ e $1$ .

$f (1) = 2$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \sqrt[3]{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- {(\sqrt[3]{2})}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Remova os parênteses.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- {\sqrt[3]{2}}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.2

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- {(2^{\frac{1}{3}})}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.2.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{\frac{3}{3}} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.2.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{\frac{3}{3}} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{1} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.2.5

Avalie o expoente.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 1 \cdot 2 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Some $- 2$ e $2$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 13.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 13.2.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{5}}$

Etapa 13.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0}$

Etapa 13.2.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0}$

Etapa 13.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 14

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \sqrt[3]{2}) \cup (\sqrt[3]{2}, \infty)$

Etapa 14.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, 1)$ na primeira derivada $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{{(2 - {(0)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 14.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = - \frac{0}{{(2 - 0^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 14.2.2.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = - \frac{0}{{(2 - 0)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 14.2.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f' (0) = - \frac{0}{{(2 + 0)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 14.2.2.1.2.2

Some $2$ e $0$ .

$f' (0) = - \frac{0}{2^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 14.2.2.1.3

Divida $0$ por $2^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (0) = - 0 + 1$

Etapa 14.2.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Etapa 14.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f' (0) = 1$

Etapa 14.2.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 14.3

Substitua qualquer número, como $1.13$ , do intervalo $(1, \sqrt[3]{2})$ na primeira derivada $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Substitua a variável $x$ por $1.13$ na expressão.

$f' (1.13) = - \frac{{(1.13)}^{2}}{{(2 - {(1.13)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 14.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1.1

Eleve $1.13$ à potência de $2$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{(2 - {1.13}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 14.3.2.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1.2.1.1

Eleve $1.13$ à potência de $3$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{(2 - 1 \cdot 1.442897)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 14.3.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1.442897$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{(2 - 1.442897)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 14.3.2.1.2.2

Subtraia $1.442897$ de $2$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{0.557103}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 14.3.2.1.2.3

Eleve $0.557103$ à potência de $\frac{2}{3}$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{0.67705455} + 1$

Etapa 14.3.2.1.3

Divida $1.2769$ por $0.67705455$ .

$f' (1.13) = - 1 \cdot 1.88596323 + 1$

Etapa 14.3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1.88596323$ .

$f' (1.13) = - 1.88596323 + 1$

Etapa 14.3.2.2

Some $- 1.88596323$ e $1$ .

$f' (1.13) = - 0.88596323$

Etapa 14.3.2.3

A resposta final é $- 0.88596323$ .

$- 0.88596323$

Etapa 14.4

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(\sqrt[3]{2}, \infty)$ na primeira derivada $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{{(2 - {(4)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 14.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(2 - 4^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 14.4.2.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(2 - 1 \cdot 64)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 14.4.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(2 - 64)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 14.4.2.1.2.2

Subtraia $64$ de $2$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(- 62)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 14.4.2.2

A resposta final é $- \frac{16}{{(- 62)}^{\frac{2}{3}}} + 1$ .

$- \frac{16}{{(- 62)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 14.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 1$ , então $x = 1$ é um máximo local.

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 14.6

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = \sqrt[3]{2}$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 14.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ .

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 15