Cálculo Exemplos

$64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$

Etapa 1

Escreva $64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$ como uma função.

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64 x^{2}$ em relação a $x$ é $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $2$ por $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{54}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $54$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{54}{x}$ em relação a $x$ é $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$128 x + 54 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $54$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + 0$

Etapa 2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 x - 54 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Etapa 2.1.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.2.1

Combine $- 54$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$128 x + \frac{- 54}{x^{2}} + 0$

Etapa 2.1.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$128 x - \frac{54}{x^{2}} + 0$

Etapa 2.1.5.2.3

Some $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ e $0$ .

$f' (x) = 128 x - \frac{54}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [128 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $128$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $128 x$ em relação a $x$ é $128 \frac{d}{d x} [x]$ .

$128 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$128 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $128$ por $1$ .

$128 + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $- 54$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{54}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$128 - 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$128 - 54 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$128 - 54 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$128 - 54 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$128 - 54 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$128 - 54 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Etapa 2.2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$128 - 54 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Etapa 2.2.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$128 - 54 (- x^{- 4} (2 x))$

Etapa 2.2.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$128 - 54 (- 2 x^{- 4} x)$

Etapa 2.2.3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$128 - 54 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Etapa 2.2.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$128 - 54 (- 2 x^{1 - 4})$

Etapa 2.2.3.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$128 - 54 (- 2 x^{- 3})$

Etapa 2.2.3.10

Multiplique $- 2$ por $- 54$ .

$128 + 108 x^{- 3}$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 + 108 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 2.2.4.2

Combine $108$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$128 + \frac{108}{x^{3}}$

Etapa 2.2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{108}{x^{3}} + 128$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{108}{x^{3}} + 128$ .

$\frac{108}{x^{3}} + 128$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{108}{x^{3}} + 128 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{108}{x^{3}} + 128 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $128$ dos dois lados da equação.

$\frac{108}{x^{3}} = - 128$

Etapa 3.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{3}, 1$

Etapa 3.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{3}$

Etapa 3.4

Multiplique cada termo em $\frac{108}{x^{3}} = - 128$ por $x^{3}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{108}{x^{3}} = - 128$ por $x^{3}$ .

$\frac{108}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{108}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Etapa 3.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$108 = - 128 x^{3}$

Etapa 3.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $- 128 x^{3} = 108$ .

$- 128 x^{3} = 108$

Etapa 3.5.2

Subtraia $108$ dos dois lados da equação.

$- 128 x^{3} - 108 = 0$

Etapa 3.5.3

Fatore $- 4$ de $- 128 x^{3} - 108$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Fatore $- 4$ de $- 128 x^{3}$ .

$- 4 (32 x^{3}) - 108 = 0$

Etapa 3.5.3.2

Fatore $- 4$ de $- 108$ .

$- 4 (32 x^{3}) - 4 \cdot 27 = 0$

Etapa 3.5.3.3

Fatore $- 4$ de $- 4 (32 x^{3}) - 4 (27)$ .

$- 4 (32 x^{3} + 27) = 0$

Etapa 3.5.4

Divida cada termo em $- 4 (32 x^{3} + 27) = 0$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Divida cada termo em $- 4 (32 x^{3} + 27) = 0$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 (32 x^{3} + 27)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Etapa 3.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 (32 x^{3} + 27)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Etapa 3.5.4.2.1.2

Divida $32 x^{3} + 27$ por $1$ .

$32 x^{3} + 27 = \frac{0}{- 4}$

Etapa 3.5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.1

Divida $0$ por $- 4$ .

$32 x^{3} + 27 = 0$

Etapa 3.5.5

Subtraia $27$ dos dois lados da equação.

$32 x^{3} = - 27$

Etapa 3.5.6

Divida cada termo em $32 x^{3} = - 27$ por $32$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.1

Divida cada termo em $32 x^{3} = - 27$ por $32$ .

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{- 27}{32}$

Etapa 3.5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.2.1

Cancele o fator comum de $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{- 27}{32}$

Etapa 3.5.6.2.1.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{- 27}{32}$

Etapa 3.5.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{3} = - \frac{27}{32}$

Etapa 3.5.7

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{- \frac{27}{32}}$

Etapa 3.5.8

Simplifique $\sqrt[3]{- \frac{27}{32}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.1

Reescreva $- \frac{27}{32}$ como ${(- \frac{3}{2})}^{3} \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{27}{32}}$

Etapa 3.5.8.1.2

Fatore a potência perfeita $3^{3}$ de $27$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{3^{3} \cdot 1}{32}}$

Etapa 3.5.8.1.3

Fatore a potência perfeita $2^{3}$ de $32$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{3^{3} \cdot 1}{2^{3} \cdot 4}}$

Etapa 3.5.8.1.4

Reorganize a fração $\frac{3^{3} \cdot 1}{2^{3} \cdot 4}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} ({(\frac{3}{2})}^{3} \frac{1}{4})}$

Etapa 3.5.8.1.5

Reescreva ${(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}$ como ${(- \frac{3}{2})}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- \frac{3}{2})}^{3} \frac{1}{4}}$

Etapa 3.5.8.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = - \frac{3}{2} \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Etapa 3.5.8.3

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$

Etapa 3.5.8.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

Etapa 3.5.8.5

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - \frac{3}{2} (\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Etapa 3.5.8.6

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.6.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 3.5.8.6.2

Eleve $\sqrt[3]{4}$ à potência de $1$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 3.5.8.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Etapa 3.5.8.6.4

Some $1$ e $2$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Etapa 3.5.8.6.5

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.6.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 3.5.8.6.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 3.5.8.6.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.5.8.6.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.6.5.4.1

Cancele o fator comum.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.5.8.6.5.4.2

Reescreva a expressão.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Etapa 3.5.8.6.5.5

Avalie o expoente.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Etapa 3.5.8.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.7.1

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Etapa 3.5.8.7.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{16}}{4}$

Etapa 3.5.8.7.3

Reescreva $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.7.3.1

Fatore $8$ de $16$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Etapa 3.5.8.7.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Etapa 3.5.8.7.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Etapa 3.5.8.8

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.8.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.8.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$x = \frac{- 3}{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Etapa 3.5.8.8.1.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt[3]{2}$ .

$x = \frac{- 3}{2} \cdot \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{4}$

Etapa 3.5.8.8.1.3

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- 3}{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Etapa 3.5.8.8.1.4

Reescreva a expressão.

$x = - 3 \frac{\sqrt[3]{2}}{4}$

Etapa 3.5.8.8.2

Combine $- 3$ e $\frac{\sqrt[3]{2}}{4}$ .

$x = \frac{- 3 \sqrt[3]{2}}{4}$

Etapa 3.5.8.8.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}$ em $f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}$ na expressão.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 {(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4})}^{2} + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 \sqrt[3]{2}}{4})}^{2}) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(3 \sqrt[3]{2})}^{2}}{4^{2}})) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $3 \sqrt[3]{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{4^{2}})) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 (1 (\frac{3^{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{4^{2}})) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $\frac{3^{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{4^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 (\frac{3^{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{4^{2}}) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.4.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 (\frac{9 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{4^{2}}) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.4.2

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 (\frac{9 \sqrt[3]{2^{2}}}{4^{2}}) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.4.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 (\frac{9 \sqrt[3]{4}}{4^{2}}) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.5

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 64 (\frac{9 \sqrt[3]{4}}{16}) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.6

Cancele o fator comum de $16$ .

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Etapa 4.1.2.1.6.1

Fatore $16$ de $64$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 16 (4) (\frac{9 \sqrt[3]{4}}{16}) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 16 \cdot (4 (\frac{9 \sqrt[3]{4}}{16})) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 4 (9 \sqrt[3]{4}) + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.7

Multiplique $9$ por $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} + \frac{54}{- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.8

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} + 54 (- \frac{4}{3 \sqrt[3]{2}}) - 3$

Etapa 4.1.2.1.9

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.1.2.1.9.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{3 \sqrt[3]{2}}$ para o numerador.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} + 54 (\frac{- 4}{3 \sqrt[3]{2}}) - 3$

Etapa 4.1.2.1.9.2

Fatore $3$ de $54$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} + 3 (18) (\frac{- 4}{3 \sqrt[3]{2}}) - 3$

Etapa 4.1.2.1.9.3

Fatore $3$ de $3 \sqrt[3]{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} + 3 (18) (\frac{- 4}{3 (\sqrt[3]{2})}) - 3$

Etapa 4.1.2.1.9.4

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} + 3 \cdot (18 (\frac{- 4}{3 \sqrt[3]{2}})) - 3$

Etapa 4.1.2.1.9.5

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} + 18 (\frac{- 4}{\sqrt[3]{2}}) - 3$

Etapa 4.1.2.1.10

Combine $18$ e $\frac{- 4}{\sqrt[3]{2}}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} + \frac{18 \cdot - 4}{\sqrt[3]{2}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.11

Multiplique $18$ por $- 4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} + \frac{- 72}{\sqrt[3]{2}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72}{\sqrt[3]{2}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.13

Multiplique $\frac{72}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - (\frac{72}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}) - 3$

Etapa 4.1.2.1.14

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.2.1.14.1

Multiplique $\frac{72}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.14.2

Eleve $\sqrt[3]{2}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.14.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.14.4

Some $1$ e $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.14.5

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

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Etapa 4.1.2.1.14.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.14.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.14.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.14.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.1.2.1.14.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}} - 3$

Etapa 4.1.2.1.14.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2} - 3$

Etapa 4.1.2.1.14.5.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{72 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2} - 3$

Etapa 4.1.2.1.15

Cancele o fator comum de $72$ e $2$ .

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Etapa 4.1.2.1.15.1

Fatore $2$ de $72 {\sqrt[3]{2}}^{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{2 (36 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{2} - 3$

Etapa 4.1.2.1.15.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.2.1.15.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{2 (36 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{2 (1)} - 3$

Etapa 4.1.2.1.15.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{2 (36 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{2 \cdot 1} - 3$

Etapa 4.1.2.1.15.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - \frac{36 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{1} - 3$

Etapa 4.1.2.1.15.2.4

Divida $36 {\sqrt[3]{2}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - (36 {\sqrt[3]{2}}^{2}) - 3$

Etapa 4.1.2.1.16

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - (36 \sqrt[3]{2^{2}}) - 3$

Etapa 4.1.2.1.17

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - (36 \sqrt[3]{4}) - 3$

Etapa 4.1.2.1.18

Multiplique $36$ por $- 1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 36 \sqrt[3]{4} - 36 \sqrt[3]{4} - 3$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $36 \sqrt[3]{4}$ de $36 \sqrt[3]{4}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = 0 - 3$

Etapa 4.1.2.2.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$f (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) = - 3$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}$ em $f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$ é $(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, - 3)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, - 3)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) \cup (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.04494078$ na expressão.

$f'' (- 1.04494078) = \frac{108}{{(- 1.04494078)}^{3}} + 128$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1.04494078$ à potência de $3$ .

$f'' (- 1.04494078) = \frac{108}{- 1.14097215} + 128$

Etapa 6.2.1.2

Divida $108$ por $- 1.14097215$ .

$f'' (- 1.04494078) = - 94.65612275 + 128$

Etapa 6.2.2

Some $- 94.65612275$ e $128$ .

$f'' (- 1.04494078) = 33.34387724$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $33.34387724$ .

$33.34387724$

Etapa 6.3

Em $- 1.04494078$ , a segunda derivada é $33.34387724$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.84494078$ na expressão.

$f'' (- 0.84494078) = \frac{108}{{(- 0.84494078)}^{3}} + 128$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 0.84494078$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.84494078) = \frac{108}{- 0.60322429} + 128$

Etapa 7.2.1.2

Divida $108$ por $- 0.60322429$ .

$f'' (- 0.84494078) = - 179.03788142 + 128$

Etapa 7.2.2

Some $- 179.03788142$ e $128$ .

$f'' (- 0.84494078) = - 51.03788142$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 51.03788142$ .

$- 51.03788142$

Etapa 7.3

Em $- 0.84494078$ , a segunda derivada é $- 51.03788142$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, \infty)$ .

Decréscimo em $(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, - 3)$ .

$(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, - 3)$

Etapa 9