Cálculo Exemplos

$\frac{(\ln (x))}{x}$

Etapa 1

Escreva $\frac{(\ln (x))}{x}$ como uma função.

$f (x) = \frac{(\ln (x))}{x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2.2.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2.4.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x^{1}} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2.4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2.4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2.4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2.4.2.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$\frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.2.4.4

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Etapa 2.2.4.4.2

Fatore $x$ de $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.4.2.1

Fatore $x$ de $- x$ .

$\frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Etapa 2.2.4.4.2.2

Fatore $x$ de $- 2 (1 - \ln (x)) x$ .

$\frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Etapa 2.2.4.4.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ .

$\frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Etapa 2.2.5

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.2.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.2.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Etapa 2.2.6.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Etapa 2.2.6.2.1.2

Multiplique $- 2 (- \ln (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Etapa 2.2.6.2.1.2.2

Simplifique $2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Etapa 2.2.6.2.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$\frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Etapa 2.2.6.3

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (3) + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Etapa 2.2.6.4

Fatore $- 1$ de $\ln (x^{2})$ .

$\frac{- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Etapa 2.2.6.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ .

$\frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Etapa 2.2.6.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ .

$- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 - \ln (x^{2}) = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- \ln (x^{2}) = - 3$

Etapa 3.3.2

Divida cada termo em $- \ln (x^{2}) = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Divida cada termo em $- \ln (x^{2}) = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.3.2.2.2

Divida $\ln (x^{2})$ por $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$\ln (x^{2}) = 3$

Etapa 3.3.3

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{3}$

Etapa 3.3.4

Reescreva $\ln (x^{2}) = 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{2}$

Etapa 3.3.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Reescreva a equação como $x^{2} = e^{3}$ .

$x^{2} = e^{3}$

Etapa 3.3.5.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{e^{3}}$

Etapa 3.3.5.3

Simplifique $\pm \sqrt{e^{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.3.1

Fatore $e^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{e^{2} e}$

Etapa 3.3.5.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm e \sqrt{e}$

Etapa 3.3.5.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = e \sqrt{e}$

Etapa 3.3.5.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - e \sqrt{e}$

Etapa 3.3.5.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = e \sqrt{e}, - e \sqrt{e}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $e \sqrt{e}$ em $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $e \sqrt{e}$ na expressão.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $\frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$ por $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}} \cdot \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$

Etapa 4.1.2.2

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $\frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$ por $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e \sqrt{e} \sqrt{e}}$

Etapa 4.1.2.2.2

Mova $\sqrt{e}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

Etapa 4.1.2.2.3

Eleve $\sqrt{e}$ à potência de $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

Etapa 4.1.2.2.4

Eleve $\sqrt{e}$ à potência de $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

Etapa 4.1.2.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {\sqrt{e}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.1.2.2.6

Some $1$ e $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {\sqrt{e}}^{2}}$

Etapa 4.1.2.2.7

Reescreva ${\sqrt{e}}^{2}$ como $e$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{e}$ como $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.1.2.2.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.1.2.2.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.1.2.2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.1.2.2.7.4.2

Reescreva a expressão.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e}$

Etapa 4.1.2.2.7.5

Simplifique.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e}$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{1 + 1}}$

Etapa 4.1.2.3.2

Some $1$ e $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$

Etapa 4.1.2.4

A resposta final é $\frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $e \sqrt{e}$ em $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ é $(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Etapa 4.3

$- e \sqrt{e}$ não está no domínio de $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ . Não há ponto de inflexão em $- e \sqrt{e}$ .

$- e \sqrt{e}$ is not in the domain

Etapa 4.4

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, e \sqrt{e}) \cup (e \sqrt{e}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, e \sqrt{e})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4.38168907$ na expressão.

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln ({(4.38168907)}^{2})}{{(4.38168907)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Eleve $4.38168907$ à potência de $2$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln (19.1991991)}{{4.38168907}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Eleve $4.38168907$ à potência de $3$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln (19.1991991)}{84.12492089}$

Etapa 6.2.3

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \log_{2.71828182} (19.1991991)}{84.12492089}$

Etapa 6.2.4

A base do logaritmo $2.71828182$ de $19.1991991$ é de aproximadamente $2.95486856$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - 1 \cdot 2.95486856}{84.12492089}$

Etapa 6.2.5

Multiplique $- 1$ por $2.95486856$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - 2.95486856}{84.12492089}$

Etapa 6.2.6

Subtraia $2.95486856$ de $3$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{0.04513143}{84.12492089}$

Etapa 6.2.7

Divida $0.04513143$ por $84.12492089$ .

$f'' (4.38168907) = - 1 \cdot 0.00053648$

Etapa 6.2.8

Multiplique $- 1$ por $0.00053648$ .

$f'' (4.38168907) = - 0.00053648$

Etapa 6.2.9

A resposta final é $- 0.00053648$ .

$- 0.00053648$

Etapa 6.3

Em $4.38168907$ , a segunda derivada é $- 0.00053648$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, e \sqrt{e})$ .

Decréscimo em $(- \infty, e \sqrt{e})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(e \sqrt{e}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $4.58168907$ na expressão.

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln ({(4.58168907)}^{2})}{{(4.58168907)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Eleve $4.58168907$ à potência de $2$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln (20.99187473)}{{4.58168907}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Eleve $4.58168907$ à potência de $3$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln (20.99187473)}{96.17824304}$

Etapa 7.2.3

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \log_{2.71828182} (20.99187473)}{96.17824304}$

Etapa 7.2.4

A base do logaritmo $2.71828182$ de $20.99187473$ é de aproximadamente $3.04413544$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - 1 \cdot 3.04413544}{96.17824304}$

Etapa 7.2.5

Multiplique $- 1$ por $3.04413544$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - 3.04413544}{96.17824304}$

Etapa 7.2.6

Subtraia $3.04413544$ de $3$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{- 0.04413544}{96.17824304}$

Etapa 7.2.7

Divida $- 0.04413544$ por $96.17824304$ .

$f'' (4.58168907) = 0.00045889$

Etapa 7.2.8

A resposta final é $0.00045889$ .

$0.00045889$

Etapa 7.3

Em $4.58168907$ , a segunda derivada é $0.00045889$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(e \sqrt{e}, \infty)$ .

Acréscimo em $(e \sqrt{e}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$ .

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Etapa 9