Cálculo Exemplos

$f (x) = 10 x \ln (| x |)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x \ln (| x |)$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (| x |)$ .

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | x |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $| x |$ .

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $| x |$ .

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4

Combine $\frac{1}{| x |}$ e $x$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.5

A derivada de $| x |$ em relação a $x$ é $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.6

Multiplique $\frac{x}{| x |}$ por $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.10

Some $1$ e $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.11

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.13

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.15

Some $1$ e $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

Etapa 1.17

Multiplique $\ln (| x |)$ por $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

Etapa 1.18

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Etapa 1.18.2

Combine $10$ e $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ .

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Etapa 1.18.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.18.3.1

Remova os termos não negativos do valor absoluto.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Etapa 1.18.3.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.18.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Etapa 1.18.3.2.2

Divida $10$ por $1$ .

$10 + 10 \ln (| x |)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 + 10 \ln (| x |)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10) + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

Etapa 2.1.2

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 \ln (| x |)$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$f'' (x) = 0 + 10 \frac{d}{d x} (\ln (| x |))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | x |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $| x |$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (| x |))$

Etapa 2.2.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $| x |$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

Etapa 2.2.3

A derivada de $| x |$ em relação a $x$ é $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |})$

Etapa 2.2.4

Multiplique $\frac{1}{| x |}$ por $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x | | x |})$

Etapa 2.2.5

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

Etapa 2.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

Etapa 2.2.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

Etapa 2.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{1 + 1} |})$

Etapa 2.2.9

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{2} |})$

Etapa 2.2.10

Combine $10$ e $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{10 x}{| x^{2} |}$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Some $0$ e $\frac{10 x}{| x^{2} |}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x}{| x^{2} |}$

Etapa 2.3.2

Remova os termos não negativos do valor absoluto.

$f'' (x) = \frac{10 x}{x^{2}}$

Etapa 2.3.3

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Fatore $x$ de $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x^{2}}$

Etapa 2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

Etapa 2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{10}{x}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x \ln (| x |)$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (| x |)$ .

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | x |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $| x |$ .

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $| x |$ .

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4

Combine $\frac{1}{| x |}$ e $x$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.5

A derivada de $| x |$ em relação a $x$ é $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.6

Multiplique $\frac{x}{| x |}$ por $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.10

Some $1$ e $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.11

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.13

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.15

Some $1$ e $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

Etapa 4.1.17

Multiplique $\ln (| x |)$ por $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

Etapa 4.1.18

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Etapa 4.1.18.2

Combine $10$ e $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ .

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Etapa 4.1.18.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.18.3.1

Remova os termos não negativos do valor absoluto.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Etapa 4.1.18.3.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.18.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Etapa 4.1.18.3.2.2

Divida $10$ por $1$ .

$f' (x) = 10 + 10 \ln (| x |)$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $10 + 10 \ln (| x |)$ .

$10 + 10 \ln (| x |)$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $10 + 10 \ln (| x |) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$10 \ln (| x |) = - 10$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $10 \ln (| x |) = - 10$ por $10$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $10 \ln (| x |) = - 10$ por $10$ .

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $\ln (| x |)$ por $1$ .

$\ln (| x |) = \frac{- 10}{10}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Divida $- 10$ por $10$ .

$\ln (| x |) = - 1$

Etapa 5.4

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| x |)} = e^{- 1}$

Etapa 5.5

Reescreva $\ln (| x |) = - 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = | x |$

Etapa 5.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Reescreva a equação como $| x | = e^{- 1}$ .

$| x | = e^{- 1}$

Etapa 5.6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$| x | = \frac{1}{e}$

Etapa 5.6.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x = \pm \frac{1}{e}$

Etapa 5.6.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{1}{e}$

Etapa 5.6.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{1}{e}$

Etapa 5.6.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o argumento em $\ln (| x |)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$| x | \leq 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Escreva $| x | \leq 0$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 6.2.1.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x \leq 0$

Etapa 6.2.1.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 6.2.1.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x \leq 0$

Etapa 6.2.1.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Etapa 6.2.2

Encontre a intersecção de $x \leq 0$ e $x \geq 0$ .

$x = 0$

Etapa 6.2.3

Resolva $- x \leq 0$ quando $x < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Divida cada termo em $- x \leq 0$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Divida cada termo em $- x \leq 0$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.3.1.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$x \geq 0$

Etapa 6.2.3.2

Encontre a intersecção de $x \geq 0$ e $x < 0$ .

Nenhuma solução

Etapa 6.2.4

Encontre a união das soluções.

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{e}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{10}{\frac{1}{e}}$

Etapa 9

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$10 e$

Etapa 10

$x = \frac{1}{e}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{e}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{e}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{e}$ na expressão.

$f (\frac{1}{e}) = 10 (\frac{1}{e}) \ln (| \frac{1}{e} |)$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Combine $10$ e $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (| \frac{1}{e} |)$

Etapa 11.2.2

$\frac{1}{e}$ é aproximadamente $0.36787944$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

Etapa 11.2.3

Reescreva $\frac{1}{e}$ como $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Etapa 11.2.4

Reescreva $\ln (1 e^{- 1})$ como $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Etapa 11.2.5

Use as regras logarítmicas para mover $- 1$ para fora do expoente.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Etapa 11.2.6

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Etapa 11.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Etapa 11.2.8

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

Etapa 11.2.9

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot - 1$

Etapa 11.2.10

Multiplique $\frac{10}{e} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.10.1

Combine $\frac{10}{e}$ e $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10 \cdot - 1}{e}$

Etapa 11.2.10.2

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e}$

Etapa 11.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{10}{e}$

Etapa 11.2.12

A resposta final é $- \frac{10}{e}$ .

$y = - \frac{10}{e}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{1}{e}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{10}{- \frac{1}{e}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$10 (- e)$

Etapa 13.2

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$- 10 e$

Etapa 14

$x = - \frac{1}{e}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{1}{e}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{1}{e}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{e}$ na expressão.

$f (- \frac{1}{e}) = 10 (- \frac{1}{e}) \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Multiplique $10 (- \frac{1}{e})$ .

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Etapa 15.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - 10 \frac{1}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Etapa 15.2.1.2

Combine $- 10$ e $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Etapa 15.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Etapa 15.2.3

$- \frac{1}{e}$ é aproximadamente $- 0.36787944$ , que é negativo, então negative $- \frac{1}{e}$ e remova o valor absoluto

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

Etapa 15.2.4

Reescreva $\frac{1}{e}$ como $1 e^{- 1}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Etapa 15.2.5

Reescreva $\ln (1 e^{- 1})$ como $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Etapa 15.2.6

Use as regras logarítmicas para mover $- 1$ para fora do expoente.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Etapa 15.2.7

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Etapa 15.2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Etapa 15.2.9

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

Etapa 15.2.10

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot - 1$

Etapa 15.2.11

Multiplique $- \frac{10}{e} \cdot - 1$ .

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Etapa 15.2.11.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = 1 (\frac{10}{e})$

Etapa 15.2.11.2

Multiplique $\frac{10}{e}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{10}{e}$

Etapa 15.2.12

A resposta final é $\frac{10}{e}$ .

$y = \frac{10}{e}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = 10 x \ln (| x |)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{10}{e})$ é um mínimo local

$(- \frac{1}{e}, \frac{10}{e})$ é um máximo local

Etapa 17