Cálculo Exemplos

$h (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 108 x^{2} + 864 x - 6$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} x^{4} - 108 x^{2} + 864 x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.2.4

Combine $\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.2.5.2.4

Divida $2 x^{3}$ por $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 108 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 108$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 108 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 108 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} - 108 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x^{3} - 108 (2 x) + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 108$ .

$2 x^{3} - 216 x + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [864 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $864$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $864 x$ em relação a $x$ é $864 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{3} - 216 x + 864 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x^{3} - 216 x + 864 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $864$ por $1$ .

$2 x^{3} - 216 x + 864 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x^{3} - 216 x + 864 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $2 x^{3} - 216 x + 864$ e $0$ .

$2 x^{3} - 216 x + 864$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 216 x + 864$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 216 x] + \frac{d}{d x} [864]$ .

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 216 x) + \frac{d}{d x} (864)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$h'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 216 x) + \frac{d}{d x} (864)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$h'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 216 x) + \frac{d}{d x} (864)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$h'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 216 x) + \frac{d}{d x} (864)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 216 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 216$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 216 x$ em relação a $x$ é $- 216 \frac{d}{d x} [x]$ .

$h'' (x) = 6 x^{2} - 216 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (864)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$h'' (x) = 6 x^{2} - 216 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (864)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 216$ por $1$ .

$h'' (x) = 6 x^{2} - 216 + \frac{d}{d x} (864)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $864$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $864$ em relação a $x$ é $0$ .

$h'' (x) = 6 x^{2} - 216 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $6 x^{2} - 216$ e $0$ .

$h'' (x) = 6 x^{2} - 216$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 x^{3} - 216 x + 864 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.1.2.4

Combine $\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.1.2.5.2.4

Divida $2 x^{3}$ por $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 108 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 108$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 108 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 108 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} - 108 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x^{3} - 108 (2 x) + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 108$ .

$2 x^{3} - 216 x + \frac{d}{d x} [864 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [864 x]$ .

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Etapa 4.1.4.1

Como $864$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $864 x$ em relação a $x$ é $864 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{3} - 216 x + 864 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x^{3} - 216 x + 864 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $864$ por $1$ .

$2 x^{3} - 216 x + 864 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.5.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x^{3} - 216 x + 864 + 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $2 x^{3} - 216 x + 864$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x^{3} - 216 x + 864$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $h (x)$ com relação a $x$ é $2 x^{3} - 216 x + 864$ .

$2 x^{3} - 216 x + 864$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x^{3} - 216 x + 864 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x^{3} - 216 x + 864 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{3} - 216 x + 864$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 216 x + 864 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $2$ de $- 216 x$ .

$2 (x^{3}) + 2 (- 108 x) + 864 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $2$ de $864$ .

$2 x^{3} + 2 (- 108 x) + 2 \cdot 432 = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $2$ de $2 x^{3} + 2 (- 108 x)$ .

$2 (x^{3} - 108 x) + 2 \cdot 432 = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $2$ de $2 (x^{3} - 108 x) + 2 \cdot 432$ .

$2 (x^{3} - 108 x + 432) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $x^{3} - 108 x + 432$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 5.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 432, \pm 2, \pm 216, \pm 3, \pm 144, \pm 4, \pm 108, \pm 6, \pm 72, \pm 8, \pm 54, \pm 9, \pm 48, \pm 12, \pm 36, \pm 16, \pm 27, \pm 18, \pm 24$

$q = \pm 1$

Etapa 5.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 432, \pm 2, \pm 216, \pm 3, \pm 144, \pm 4, \pm 108, \pm 6, \pm 72, \pm 8, \pm 54, \pm 9, \pm 48, \pm 12, \pm 36, \pm 16, \pm 27, \pm 18, \pm 24$

Etapa 5.2.2.3

Substitua $6$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $6$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 5.2.2.3.1

Substitua $6$ no polinômio.

$6^{3} - 108 \cdot 6 + 432$

Etapa 5.2.2.3.2

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$216 - 108 \cdot 6 + 432$

Etapa 5.2.2.3.3

Multiplique $- 108$ por $6$ .

$216 - 648 + 432$

Etapa 5.2.2.3.4

Subtraia $648$ de $216$ .

$- 432 + 432$

Etapa 5.2.2.3.5

Some $- 432$ e $432$ .

$0$

Etapa 5.2.2.4

Como $6$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 6$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 108 x + 432}{x - 6}$

Etapa 5.2.2.5

Divida $x^{3} - 108 x + 432$ por $x - 6$ .

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Etapa 5.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$6$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$108 x$

$432$

Etapa 5.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$108 x$	+	$432$

Etapa 5.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$108 x$	+	$432$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Etapa 5.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 6 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$108 x$	+	$432$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Etapa 5.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$108 x$	+	$432$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Etapa 5.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$108 x$	+	$432$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$108 x$

Etapa 5.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$108 x$	+	$432$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$108 x$

Etapa 5.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$108 x$	+	$432$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$108 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$36 x$

Etapa 5.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 x^{2} - 36 x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$108 x$	+	$432$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$108 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$

Etapa 5.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$108 x$	+	$432$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$108 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							-	$72 x$

Etapa 5.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$108 x$	+	$432$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$108 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							-	$72 x$	+	$432$

Etapa 5.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 72 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$72$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$108 x$	+	$432$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$108 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							-	$72 x$	+	$432$

Etapa 5.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$72$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$108 x$	+	$432$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$108 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							-	$72 x$	+	$432$
							-	$72 x$	+	$432$

Etapa 5.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 72 x + 432$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$72$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$108 x$	+	$432$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$108 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							-	$72 x$	+	$432$
							+	$72 x$	-	$432$

Etapa 5.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$72$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$108 x$	+	$432$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$108 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							-	$72 x$	+	$432$
							+	$72 x$	-	$432$
										$0$

Etapa 5.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 6 x - 72$

Etapa 5.2.2.6

Escreva $x^{3} - 108 x + 432$ como um conjunto de fatores.

$2 ((x - 6) (x^{2} + 6 x - 72)) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $x^{2} + 6 x - 72$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Fatore $x^{2} + 6 x - 72$ usando o método AC.

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Etapa 5.2.3.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 72$ e cuja soma é $6$ .

$- 6, 12$

Etapa 5.2.3.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 ((x - 6) ((x - 6) (x + 12))) = 0$

Etapa 5.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 ((x - 6) (x - 6) (x + 12)) = 0$

Etapa 5.2.4

Fatore.

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Etapa 5.2.4.1

Combine como fatores.

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Etapa 5.2.4.1.1

Eleve $x - 6$ à potência de $1$ .

$2 ((x - 6) (x - 6) (x + 12)) = 0$

Etapa 5.2.4.1.2

Eleve $x - 6$ à potência de $1$ .

$2 ((x - 6) (x - 6) (x + 12)) = 0$

Etapa 5.2.4.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 ({(x - 6)}^{1 + 1} (x + 12)) = 0$

Etapa 5.2.4.1.4

Some $1$ e $1$ .

$2 ({(x - 6)}^{2} (x + 12)) = 0$

Etapa 5.2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 {(x - 6)}^{2} (x + 12) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

$x + 12 = 0$

Etapa 5.4

Defina ${(x - 6)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina ${(x - 6)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva ${(x - 6)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 5.4.2.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 5.5

Defina $x + 12$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $x + 12$ como igual a $0$ .

$x + 12 = 0$

Etapa 5.5.2

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$x = - 12$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 {(x - 6)}^{2} (x + 12) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, - 12$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 6, - 12$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 6$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 {(6)}^{2} - 216$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Multiplique $6$ por ${(6)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.1.1.1

Multiplique $6$ por ${(6)}^{2}$ .

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Etapa 9.1.1.1.1

Eleve $6$ à potência de $1$ .

$6^{1} {(6)}^{2} - 216$

Etapa 9.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6^{1 + 2} - 216$

Etapa 9.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$6^{3} - 216$

Etapa 9.1.2

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$216 - 216$

Etapa 9.2

Subtraia $216$ de $216$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 12) \cup (- 12, 6) \cup (6, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 14$ , do intervalo $(- \infty, - 12)$ na primeira derivada $2 x^{3} - 216 x + 864$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 14$ na expressão.

$h' (- 14) = 2 {(- 14)}^{3} - 216 \cdot - 14 + 864$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $- 14$ à potência de $3$ .

$h' (- 14) = 2 \cdot - 2744 - 216 \cdot - 14 + 864$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 2744$ .

$h' (- 14) = - 5488 - 216 \cdot - 14 + 864$

Etapa 10.2.2.1.3

Multiplique $- 216$ por $- 14$ .

$h' (- 14) = - 5488 + 3024 + 864$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 10.2.2.2.1

Some $- 5488$ e $3024$ .

$h' (- 14) = - 2464 + 864$

Etapa 10.2.2.2.2

Some $- 2464$ e $864$ .

$h' (- 14) = - 1600$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $- 1600$ .

$- 1600$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- 12, 6)$ na primeira derivada $2 x^{3} - 216 x + 864$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$h' (0) = 2 {(0)}^{3} - 216 \cdot 0 + 864$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$h' (0) = 2 \cdot 0 - 216 \cdot 0 + 864$

Etapa 10.3.2.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$h' (0) = 0 - 216 \cdot 0 + 864$

Etapa 10.3.2.1.3

Multiplique $- 216$ por $0$ .

$h' (0) = 0 + 0 + 864$

Etapa 10.3.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 10.3.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$h' (0) = 0 + 864$

Etapa 10.3.2.2.2

Some $0$ e $864$ .

$h' (0) = 864$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $864$ .

$864$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $8$ , do intervalo $(6, \infty)$ na primeira derivada $2 x^{3} - 216 x + 864$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$h' (8) = 2 {(8)}^{3} - 216 \cdot 8 + 864$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1.1

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$h' (8) = 2 \cdot 512 - 216 \cdot 8 + 864$

Etapa 10.4.2.1.2

Multiplique $2$ por $512$ .

$h' (8) = 1024 - 216 \cdot 8 + 864$

Etapa 10.4.2.1.3

Multiplique $- 216$ por $8$ .

$h' (8) = 1024 - 1728 + 864$

Etapa 10.4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 10.4.2.2.1

Subtraia $1728$ de $1024$ .

$h' (8) = - 704 + 864$

Etapa 10.4.2.2.2

Some $- 704$ e $864$ .

$h' (8) = 160$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $160$ .

$160$

Etapa 10.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - 12$ , então $x = - 12$ é um mínimo local.

$x = - 12$ é um mínimo local

Etapa 10.6

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 6$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.7

Esses são os extremos locais para $h (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 108 x^{2} + 864 x - 6$ .

$x = - 12$ é um mínimo local

Etapa 11