Cálculo Exemplos

$\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Etapa 1

Escreva $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$ como uma função.

$f (x) = \frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $\frac{1}{7}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 5 - 9 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 - 9 x$ .

$\frac{1}{7} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 - 9 x$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - 9 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.5

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 9 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.10.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{- 1}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.12

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 9)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.13

Subtraia $9$ de $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 9) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.14

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot - 9) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.15

Combine $\frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $- 9$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 9}{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.16

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 18 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.17

Mova ${(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 18}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.18

Fatore $3$ de $- 18$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.19

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.19.1

Fatore $3$ de $3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 ({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.19.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.19.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{7} (- \frac{6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.21

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $\frac{6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Etapa 2.3.2

Some $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ e $0$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Como $- \frac{6}{7}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{6}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 3.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ como ${({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} {({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}$

Etapa 3.1.2.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} {(5 - 9 x)}^{\frac{- 1}{3}}$

Etapa 3.1.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ e $g (x) = 5 - 9 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 - 9 x$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 - 9 x$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Etapa 3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Etapa 3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Etapa 3.6.2

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Etapa 3.8

Combine ${(5 - 9 x)}^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{{(5 - 9 x)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Etapa 3.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Mova ${(5 - 9 x)}^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Etapa 3.9.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{6}{7}) \cdot (\frac{1}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Etapa 3.9.3

Multiplique $\frac{6}{7}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (\frac{1}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Etapa 3.10

Multiplique $\frac{1}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}}$ por $\frac{6}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x)$

Etapa 3.11

Multiplique $7$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{6}{21 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x)$

Etapa 3.12

Fatore $3$ de $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2)}{21 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x)$

Etapa 3.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.1

Fatore $3$ de $21 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2)}{3 (7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x)$

Etapa 3.13.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x)$

Etapa 3.13.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x)$

Etapa 3.14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - 9 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 9 x))$

Etapa 3.15

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- 9 x))$

Etapa 3.16

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Etapa 3.17

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (- 9 \frac{d}{d x} x)$

Etapa 3.18

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.18.1

Combine $- 9$ e $\frac{2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 9 \cdot 2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 3.18.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.18.2.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 18}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 3.18.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{18}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} x$

Etapa 3.19

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{18}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Etapa 3.20

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{18}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Como $\frac{1}{7}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 5 - 9 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 - 9 x$ .

$\frac{1}{7} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 - 9 x$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - 9 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.5

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 9 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.10.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{- 1}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.12

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 9)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.13

Subtraia $9$ de $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 9) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.14

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot - 9) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.15

Combine $\frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $- 9$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 9}{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.16

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 18 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.17

Mova ${(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 18}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.18

Fatore $3$ de $- 18$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.19

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.19.1

Fatore $3$ de $3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 ({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.19.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.19.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{7} (- \frac{6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.21

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $\frac{6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Etapa 5.1.3.2

Some $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ e $0$ .

$f' (x) = - \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$6 = 0$

Etapa 6.3

Como $6 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{6}{7 \sqrt[3]{{(5 - 9 x)}^{1}}}$

Etapa 7.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- \frac{6}{7 \sqrt[3]{5 - 9 x}}$

Etapa 7.2

Defina o denominador em $\frac{6}{7 \sqrt[3]{5 - 9 x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$7 \sqrt[3]{5 - 9 x} = 0$

Etapa 7.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(7 \sqrt[3]{5 - 9 x})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{5 - 9 x}$ como ${(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Simplifique ${(7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$7^{3} {({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2.1.2

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$343 {({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$343 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$343 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$343 {(5 - 9 x)}^{1} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2.1.4

Simplifique.

$343 (5 - 9 x) = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$343 \cdot 5 + 343 (- 9 x) = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2.1.6

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.6.1

Multiplique $343$ por $5$ .

$1715 + 343 (- 9 x) = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2.1.6.2

Multiplique $- 9$ por $343$ .

$1715 - 3087 x = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$1715 - 3087 x = 0$

Etapa 7.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1

Subtraia $1715$ dos dois lados da equação.

$- 3087 x = - 1715$

Etapa 7.3.3.2

Divida cada termo em $- 3087 x = - 1715$ por $- 3087$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.1

Divida cada termo em $- 3087 x = - 1715$ por $- 3087$ .

$\frac{- 3087 x}{- 3087} = \frac{- 1715}{- 3087}$

Etapa 7.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3087$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3087 x}{- 3087} = \frac{- 1715}{- 3087}$

Etapa 7.3.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1715}{- 3087}$

Etapa 7.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 1715$ e $- 3087$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.3.1.1

Fatore $- 343$ de $- 1715$ .

$x = \frac{- 343 (5)}{- 3087}$

Etapa 7.3.3.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.3.1.2.1

Fatore $- 343$ de $- 3087$ .

$x = \frac{- 343 \cdot 5}{- 343 \cdot 9}$

Etapa 7.3.3.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- 343 \cdot 5}{- 343 \cdot 9}$

Etapa 7.3.3.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{5}{9}$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{5}{9}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5}{9}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{18}{7 {(5 - 9 (\frac{5}{9}))}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1.1

Fatore $9$ de $- 9$ .

$- \frac{18}{7 {(5 + 9 (- 1) \frac{5}{9})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 10.1.1.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{18}{7 {(5 + 9 \cdot - 1 \frac{5}{9})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 10.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{18}{7 {(5 - 1 \cdot 5)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 10.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- \frac{18}{7 {(5 - 5)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 10.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Subtraia $5$ de $5$ .

$- \frac{18}{7 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 10.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{18}{7 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 10.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{18}{7 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 10.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{18}{7 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 10.2.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{18}{7 \cdot 0^{4}}$

Etapa 10.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{18}{7 \cdot 0}$

Etapa 10.2.4.2

Multiplique $7$ por $0$ .

$- \frac{18}{0}$

Etapa 10.2.4.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{18}{0}$

Etapa 10.2.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{18}{0}$

Etapa 10.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 11

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, \frac{5}{9}) \cup (\frac{5}{9}, \infty)$

Etapa 11.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, \frac{5}{9})$ na primeira derivada $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = - \frac{6}{7 {(5 - 9 \cdot 0)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1.1

Multiplique $- 9$ por $0$ .

$f' (0) = - \frac{6}{7 {(5 + 0)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.2.2.1.2

Some $5$ e $0$ .

$f' (0) = - \frac{6}{7 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.2.2.2

A resposta final é $- \frac{6}{7 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{6}{7 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3

Substitua qualquer número, como $3$ , do intervalo $(\frac{5}{9}, \infty)$ na primeira derivada $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = - \frac{6}{7 {(5 - 9 \cdot 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1.1

Multiplique $- 9$ por $3$ .

$f' (3) = - \frac{6}{7 {(5 - 27)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.2.1.2

Subtraia $27$ de $5$ .

$f' (3) = - \frac{6}{7 {(- 22)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.2.2

A resposta final é $- \frac{6}{7 {(- 22)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{6}{7 {(- 22)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{5}{9}$ , então $x = \frac{5}{9}$ é um mínimo local.

$x = \frac{5}{9}$ é um mínimo local

Etapa 12