Cálculo Exemplos

$- \frac{x}{5 x^{2} + 1}$

Etapa 1

Escreva $- \frac{x}{5 x^{2} + 1}$ como uma função.

$f (x) = - \frac{x}{5 x^{2} + 1}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x}{5 x^{2} + 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 x^{2} + 1}] + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 5 x^{2} + 1$ .

$- \frac{(5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1]}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{(5 x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1]}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.2

Multiplique $5 x^{2} + 1$ por $1$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1]}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - x (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - x (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.6

Multiplique $2$ por $5$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - x (10 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - x (10 x + 0)}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.8.1

Some $10 x$ e $0$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - x (10 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.8.2

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - 10 x \cdot x}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - 10 (x^{1} x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - 10 (x^{1} x^{1})}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{5 x^{2} + 1 - 10 x^{1 + 1}}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.7

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.7.1

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - 10 x^{2}}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.7.2

Subtraia $10 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$- \frac{- 5 x^{2} + 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{- 5 x^{2} + 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \cdot 0$

Etapa 2.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $\frac{x}{5 x^{2} + 1}$ por $0$ .

$- \frac{- 5 x^{2} + 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + 0$

Etapa 2.9.2

Some $- \frac{- 5 x^{2} + 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{- 5 x^{2} + 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10

Simplifique.

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Etapa 2.10.1

Fatore $- 1$ de $- 5 x^{2}$ .

$- \frac{- (5 x^{2}) + 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (5 x^{2}) - 1 (- 1)}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10.3

Fatore $- 1$ de $- (5 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (5 x^{2} - 1)}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10.4

Reescreva $- (5 x^{2} - 1)$ como $- 1 (5 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{- 1 (5 x^{2} - 1)}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{5 x^{2} - 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{5 x^{2} - 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10.7

Multiplique $\frac{5 x^{2} - 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{5 x^{2} - 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

$f'' (x) = \frac{{(5 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1) - (5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 1)}^{2}}{{({(5 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(5 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(5 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1) - (5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 1)}^{2}}{{(5 x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(5 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1) - (5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 1)}^{2}}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(5 x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 1)}^{2}}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.2.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(5 x^{2} + 1)}^{2} (5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 1)}^{2}}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(5 x^{2} + 1)}^{2} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 1)}^{2}}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.2.5

Multiplique $2$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{{(5 x^{2} + 1)}^{2} (10 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 1)}^{2}}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.2.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(5 x^{2} + 1)}^{2} (10 x + 0) - (5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 1)}^{2}}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.2.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.7.1

Some $10 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(5 x^{2} + 1)}^{2} (10 x) - (5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 1)}^{2}}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.2.7.2

Mova $10$ para a esquerda de ${(5 x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 \cdot ({(5 x^{2} + 1)}^{2} x) - (5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 1)}^{2}}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 5 x^{2} + 1$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{10 {(5 x^{2} + 1)}^{2} x - (5 x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 1))}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{10 {(5 x^{2} + 1)}^{2} x - (5 x^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 1))}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{10 {(5 x^{2} + 1)}^{2} x - (5 x^{2} - 1) (2 (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 1))}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{10 {(5 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 1) ((5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 1))}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{10 {(5 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 1) ((5 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{10 {(5 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 1) ((5 x^{2} + 1) (5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{10 {(5 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 1) ((5 x^{2} + 1) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.5

Multiplique $2$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{10 {(5 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 1) ((5 x^{2} + 1) (10 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{10 {(5 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 1) ((5 x^{2} + 1) (10 x + 0))}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.7.1

Some $10 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{10 {(5 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 1) ((5 x^{2} + 1) (10 x))}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.7.2

Mova $10$ para a esquerda de $5 x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{10 {(5 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 1) (10 \cdot ((5 x^{2} + 1) x))}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.7.3

Multiplique $10$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{10 {(5 x^{2} + 1)}^{2} x - 20 (5 x^{2} - 1) ((5 x^{2} + 1) x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{10 {(5 x^{2} + 1)}^{2} x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) ((5 x^{2} + 1) x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{10 {(5 x^{2} + 1)}^{2} x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.3.1.1

Reescreva ${(5 x^{2} + 1)}^{2}$ como $(5 x^{2} + 1) (5 x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{10 ((5 x^{2} + 1) (5 x^{2} + 1)) x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.2

Expanda $(5 x^{2} + 1) (5 x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.5.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{10 (5 x^{2} (5 x^{2} + 1) + 1 (5 x^{2} + 1)) x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{10 (5 x^{2} (5 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 + 1 (5 x^{2} + 1)) x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{10 (5 x^{2} (5 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 + 1 (5 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.5.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.3.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{10 (5 \cdot (5 x^{2} x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 + 1 (5 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.3.1.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 (5 \cdot (5 (x^{2} x^{2})) + 5 x^{2} \cdot 1 + 1 (5 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{10 (5 \cdot (5 x^{2 + 2}) + 5 x^{2} \cdot 1 + 1 (5 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{10 (5 \cdot (5 x^{4}) + 5 x^{2} \cdot 1 + 1 (5 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.3.1.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{10 (25 x^{4} + 5 x^{2} \cdot 1 + 1 (5 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.3.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 (25 x^{4} + 5 x^{2} + 1 (5 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.3.1.5

Multiplique $5 x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 (25 x^{4} + 5 x^{2} + 5 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.3.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 (25 x^{4} + 5 x^{2} + 5 x^{2} + 1) x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.3.2

Some $5 x^{2}$ e $5 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 (25 x^{4} + 10 x^{2} + 1) x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(10 (25 x^{4}) + 10 (10 x^{2}) + 10 \cdot 1) x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.3.1.5.1

Multiplique $25$ por $10$ .

$f'' (x) = \frac{(250 x^{4} + 10 (10 x^{2}) + 10 \cdot 1) x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.5.2

Multiplique $10$ por $10$ .

$f'' (x) = \frac{(250 x^{4} + 100 x^{2} + 10 \cdot 1) x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.5.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(250 x^{4} + 100 x^{2} + 10) x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{250 x^{4} x + 100 x^{2} x + 10 x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.7.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.7.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{250 (x \cdot x^{4}) + 100 x^{2} x + 10 x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.7.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.7.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{250 (x \cdot x^{4}) + 100 x^{2} x + 10 x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{250 x^{1 + 4} + 100 x^{2} x + 10 x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.7.1.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{2} x + 10 x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.7.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 (x \cdot x^{2}) + 10 x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.7.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.7.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 (x \cdot x^{2}) + 10 x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{1 + 2} + 10 x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.7.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.8.1

Multiplique $5$ por $- 20$ .

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x + (- 100 x^{2} - 20 \cdot - 1) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.8.2

Multiplique $- 20$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x + (- 100 x^{2} + 20) (5 x^{2} x + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.9.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.9.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x + (- 100 x^{2} + 20) (5 (x \cdot x^{2}) + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.9.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.9.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x + (- 100 x^{2} + 20) (5 (x \cdot x^{2}) + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.9.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x + (- 100 x^{2} + 20) (5 x^{1 + 2} + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.9.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x + (- 100 x^{2} + 20) (5 x^{3} + 1 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.9.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x + (- 100 x^{2} + 20) (5 x^{3} + x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.10

Expanda $(- 100 x^{2} + 20) (5 x^{3} + x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x - 100 x^{2} (5 x^{3} + x) + 20 (5 x^{3} + x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x - 100 x^{2} (5 x^{3}) - 100 x^{2} x + 20 (5 x^{3} + x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x - 100 x^{2} (5 x^{3}) - 100 x^{2} x + 20 (5 x^{3}) + 20 x}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.11

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.11.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x - 100 \cdot (5 x^{2} x^{3}) - 100 x^{2} x + 20 (5 x^{3}) + 20 x}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.11.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.11.1.2.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x - 100 \cdot (5 (x^{3} x^{2})) - 100 x^{2} x + 20 (5 x^{3}) + 20 x}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.11.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x - 100 \cdot (5 x^{3 + 2}) - 100 x^{2} x + 20 (5 x^{3}) + 20 x}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.11.1.2.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x - 100 \cdot (5 x^{5}) - 100 x^{2} x + 20 (5 x^{3}) + 20 x}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.11.1.3

Multiplique $- 100$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x - 500 x^{5} - 100 x^{2} x + 20 (5 x^{3}) + 20 x}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.11.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.11.1.4.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x - 500 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) + 20 (5 x^{3}) + 20 x}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.11.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.11.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x - 500 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) + 20 (5 x^{3}) + 20 x}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.11.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x - 500 x^{5} - 100 x^{1 + 2} + 20 (5 x^{3}) + 20 x}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.11.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x - 500 x^{5} - 100 x^{3} + 20 (5 x^{3}) + 20 x}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.11.1.5

Multiplique $5$ por $20$ .

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x - 500 x^{5} - 100 x^{3} + 100 x^{3} + 20 x}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.11.2

Some $- 100 x^{3}$ e $100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x - 500 x^{5} + 0 + 20 x}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.11.3

Some $- 500 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x - 500 x^{5} + 20 x}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.2

Subtraia $500 x^{5}$ de $250 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{- 250 x^{5} + 100 x^{3} + 10 x + 20 x}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.3

Some $10 x$ e $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 250 x^{5} + 100 x^{3} + 30 x}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Fatore $10 x$ de $- 250 x^{5} + 100 x^{3} + 30 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1.1

Fatore $10 x$ de $- 250 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- 25 x^{4}) + 100 x^{3} + 30 x}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.1.2

Fatore $10 x$ de $100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- 25 x^{4}) + 10 x (10 x^{2}) + 30 x}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.1.3

Fatore $10 x$ de $30 x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- 25 x^{4}) + 10 x (10 x^{2}) + 10 x (3)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.1.4

Fatore $10 x$ de $10 x (- 25 x^{4}) + 10 x (10 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- 25 x^{4} + 10 x^{2}) + 10 x (3)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.1.5

Fatore $10 x$ de $10 x (- 25 x^{4} + 10 x^{2}) + 10 x (3)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- 25 x^{4} + 10 x^{2} + 3)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- 25 {(x^{2})}^{2} + 10 x^{2} + 3)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- 25 u^{2} + 10 u + 3)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.4

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 25 \cdot 3 = - 75$ e cuja soma é $b = 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.4.1.1

Fatore $10$ de $10 u$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- 25 u^{2} + 10 (u) + 3)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.4.1.2

Reescreva $10$ como $- 5$ mais $15$

$f'' (x) = \frac{10 x (- 25 u^{2} + (- 5 + 15) u + 3)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{10 x (- 25 u^{2} - 5 u + 15 u + 3)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f'' (x) = \frac{10 x ((- 25 u^{2} - 5 u) + 15 u + 3)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f'' (x) = \frac{10 x (5 u (- 5 u - 1) - 3 (- 5 u - 1))}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 5 u - 1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x ((- 5 u - 1) (5 u - 3))}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- 5 x^{2} - 1) (5 x^{2} - 3)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.5

Cancele o fator comum de $- 5 x^{2} - 1$ e ${(5 x^{2} + 1)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.1

Fatore $- 1$ de $- 5 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- (5 x^{2}) - 1) (5 x^{2} - 3)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.5.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- (5 x^{2}) - 1 \cdot 1) (5 x^{2} - 3)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.5.3

Fatore $- 1$ de $- (5 x^{2}) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- (5 x^{2} + 1)) (5 x^{2} - 3)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.5.4

Reescreva $- (5 x^{2} + 1)$ como $- 1 (5 x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- 1 (5 x^{2} + 1)) (5 x^{2} - 3)}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.5.5

Fatore $5 x^{2} + 1$ de $10 x (- 1 (5 x^{2} + 1)) (5 x^{2} - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(5 x^{2} + 1) (10 x \cdot ((- 1) (5 x^{2} - 3)))}{{(5 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.5.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.6.1

Fatore $5 x^{2} + 1$ de ${(5 x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(5 x^{2} + 1) (10 x \cdot ((- 1) (5 x^{2} - 3)))}{(5 x^{2} + 1) {(5 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.5.5.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(5 x^{2} + 1) (10 x \cdot ((- 1) (5 x^{2} - 3)))}{(5 x^{2} + 1) {(5 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.5.5.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{10 x \cdot ((- 1) (5 x^{2} - 3))}{{(5 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.5.6

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$f'' (x) = \frac{- 10 x (5 x^{2} - 3)}{{(5 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{10 x (5 x^{2} - 3)}{{(5 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{5 x^{2} - 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

$- \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 x^{2} + 1}] + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.2

$- \frac{(5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1]}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.3

Diferencie.

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Etapa 5.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{(5 x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1]}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.3.2

Multiplique $5 x^{2} + 1$ por $1$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1]}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.3.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - x (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - x (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.3.6

Multiplique $2$ por $5$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - x (10 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.3.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - x (10 x + 0)}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.3.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.8.1

Some $10 x$ e $0$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - x (10 x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.3.8.2

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - 10 x \cdot x}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - 10 (x^{1} x)}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - 10 (x^{1} x^{1})}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{5 x^{2} + 1 - 10 x^{1 + 1}}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.7

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.7.1

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{5 x^{2} + 1 - 10 x^{2}}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.7.2

Subtraia $10 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$- \frac{- 5 x^{2} + 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{- 5 x^{2} + 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{x}{5 x^{2} + 1} \cdot 0$

Etapa 5.1.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.9.1

Multiplique $\frac{x}{5 x^{2} + 1}$ por $0$ .

$- \frac{- 5 x^{2} + 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} + 0$

Etapa 5.1.9.2

Some $- \frac{- 5 x^{2} + 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{- 5 x^{2} + 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.10.1

Fatore $- 1$ de $- 5 x^{2}$ .

$- \frac{- (5 x^{2}) + 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.10.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (5 x^{2}) - 1 (- 1)}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.10.3

Fatore $- 1$ de $- (5 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (5 x^{2} - 1)}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.10.4

Reescreva $- (5 x^{2} - 1)$ como $- 1 (5 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{- 1 (5 x^{2} - 1)}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.10.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{5 x^{2} - 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.10.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{5 x^{2} - 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.10.7

Multiplique $\frac{5 x^{2} - 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{2} - 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{5 x^{2} - 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{5 x^{2} - 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{5 x^{2} - 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{5 x^{2} - 1}{{(5 x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$5 x^{2} - 1 = 0$

Etapa 6.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$5 x^{2} = 1$

Etapa 6.3.2

Divida cada termo em $5 x^{2} = 1$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Divida cada termo em $5 x^{2} = 1$ por $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{1}{5}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{1}{5}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{5}$

Etapa 6.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

Etapa 6.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{5}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Etapa 6.3.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

Etapa 6.3.4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 6.3.4.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 6.3.4.4.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 6.3.4.4.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 6.3.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.3.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 6.3.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.3.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.3.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 6.3.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 6.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 6.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 6.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{\sqrt{5}}{5}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{10 (\frac{\sqrt{5}}{5}) (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Combine $10$ e $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{\frac{10 \sqrt{5}}{5} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{\frac{10 \sqrt{5}}{5} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.2

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\frac{10 \sqrt{5}}{5} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{10 \sqrt{5}}{5} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{\frac{10 \sqrt{5}}{5} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{\frac{10 \sqrt{5}}{5} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{\frac{10 \sqrt{5}}{5} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 \frac{5^{1}}{5^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.2.5

Avalie o expoente.

$- \frac{\frac{10 \sqrt{5}}{5} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 \frac{5}{5^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$- \frac{\frac{10 \sqrt{5}}{5} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 (\frac{5}{25}) + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.4.1

Fatore $5$ de $25$ .

$- \frac{\frac{10 \sqrt{5}}{5} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 \frac{5}{5 (5)} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.4.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{\frac{10 \sqrt{5}}{5} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 \frac{5}{5 \cdot 5} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.4.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{\frac{10 \sqrt{5}}{5} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(\frac{5}{5} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.5

Divida $5$ por $5$ .

$- \frac{\frac{10 \sqrt{5}}{5} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.6

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{\frac{10 \sqrt{5}}{5} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{2^{3}}$

Etapa 10.2.7

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- \frac{\frac{10 \sqrt{5}}{5} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{8}$

Etapa 10.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.1

Reduza a expressão $\frac{10 \sqrt{5}}{5}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.1.1

Fatore $5$ de $10 \sqrt{5}$ .

$- \frac{\frac{5 (2 \sqrt{5})}{5} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{8}$

Etapa 10.3.1.1.2

Fatore $5$ de $5$ .

$- \frac{\frac{5 (2 \sqrt{5})}{5 (1)} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{8}$

Etapa 10.3.1.1.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{\frac{5 (2 \sqrt{5})}{5 \cdot 1} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{8}$

Etapa 10.3.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{\frac{2 \sqrt{5}}{1} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{8}$

Etapa 10.3.1.2

Divida $2 \sqrt{5}$ por $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{5} (5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{8}$

Etapa 10.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{2 \sqrt{5} (5 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 3)}{8}$

Etapa 10.3.3

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{5} (5 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - 3)}{8}$

Etapa 10.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{5} (5 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - 3)}{8}$

Etapa 10.3.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{5} (5 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 3)}{8}$

Etapa 10.3.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \sqrt{5} (5 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 3)}{8}$

Etapa 10.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 \sqrt{5} (5 \frac{5^{1}}{5^{2}} - 3)}{8}$

Etapa 10.3.3.5

Avalie o expoente.

$- \frac{2 \sqrt{5} (5 \frac{5}{5^{2}} - 3)}{8}$

Etapa 10.3.4

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{5} (5 (\frac{5}{25}) - 3)}{8}$

Etapa 10.3.5

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.5.1

Fatore $5$ de $25$ .

$- \frac{2 \sqrt{5} (5 \frac{5}{5 (5)} - 3)}{8}$

Etapa 10.3.5.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \sqrt{5} (5 \frac{5}{5 \cdot 5} - 3)}{8}$

Etapa 10.3.5.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 \sqrt{5} (\frac{5}{5} - 3)}{8}$

Etapa 10.3.6

Divida $5$ por $5$ .

$- \frac{2 \sqrt{5} (1 - 3)}{8}$

Etapa 10.3.7

Subtraia $3$ de $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{5} \cdot - 2}{8}$

Etapa 10.3.8

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- \frac{- 4 \sqrt{5}}{8}$

Etapa 10.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1.1

Fatore $4$ de $- 4 \sqrt{5}$ .

$- \frac{4 (- \sqrt{5})}{8}$

Etapa 10.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$- \frac{4 (- \sqrt{5})}{4 (2)}$

Etapa 10.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{4 (- \sqrt{5})}{4 \cdot 2}$

Etapa 10.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{- \sqrt{5}}{2}$

Etapa 10.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{\sqrt{5}}{2}$

Etapa 10.5

Multiplique $- - \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{5}}{2}$

Etapa 10.5.2

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Etapa 11

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{5}}{5}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + 1}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{\sqrt{5}}{5}) = - (\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + 1})$

Etapa 12.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{5}}{5}) = - (\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}) + 1})$

Etapa 12.2.2.2

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{5}}{5}) = - (\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}) + 1})$

Etapa 12.2.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{5}}{5}) = - (\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}) + 1})$

Etapa 12.2.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{5}}{5}) = - (\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}) + 1})$

Etapa 12.2.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{5}}{5}) = - (\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}) + 1})$

Etapa 12.2.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{5}}{5}) = - (\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{5}{5^{2}}) + 1})$

Etapa 12.2.2.2.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt{5}}{5}) = - (\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{5}{5^{2}}) + 1})$

Etapa 12.2.2.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{5}}{5}) = - (\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{5}{25}) + 1})$

Etapa 12.2.2.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.4.1

Fatore $5$ de $25$ .

$f (\frac{\sqrt{5}}{5}) = - (\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{5}{5 (5)}) + 1})$

Etapa 12.2.2.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{5}}{5}) = - (\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{5}{5 \cdot 5}) + 1})$

Etapa 12.2.2.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{5}}{5}) = - (\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{\frac{5}{5} + 1})$

Etapa 12.2.2.5

Divida $5$ por $5$ .

$f (\frac{\sqrt{5}}{5}) = - (\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{1 + 1})$

Etapa 12.2.2.6

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{\sqrt{5}}{5}) = - (\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 12.2.3

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{5}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{5 \cdot 2}$

Etapa 12.2.3.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{10}$

Etapa 12.2.4

A resposta final é $- \frac{\sqrt{5}}{10}$ .

$y = - \frac{\sqrt{5}}{10}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{10 (- \frac{\sqrt{5}}{5}) (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$- \frac{- 10 \frac{\sqrt{5}}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.1.2

Combine $- 10$ e $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{\frac{- 10 \sqrt{5}}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{\frac{- 10 \sqrt{5}}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}) + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{\frac{- 10 \sqrt{5}}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}) + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{\frac{- 10 \sqrt{5}}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 (1 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}) + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2.3

Multiplique $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{\frac{- 10 \sqrt{5}}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2.4

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\frac{- 10 \sqrt{5}}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{- 10 \sqrt{5}}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{\frac{- 10 \sqrt{5}}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{\frac{- 10 \sqrt{5}}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{\frac{- 10 \sqrt{5}}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 \frac{5^{1}}{5^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2.4.5

Avalie o expoente.

$- \frac{\frac{- 10 \sqrt{5}}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 \frac{5}{5^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2.5

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$- \frac{\frac{- 10 \sqrt{5}}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 (\frac{5}{25}) + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2.6

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.6.1

Fatore $5$ de $25$ .

$- \frac{\frac{- 10 \sqrt{5}}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 \frac{5}{5 (5)} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2.6.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{\frac{- 10 \sqrt{5}}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(5 \frac{5}{5 \cdot 5} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2.6.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{\frac{- 10 \sqrt{5}}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(\frac{5}{5} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2.7

Divida $5$ por $5$ .

$- \frac{\frac{- 10 \sqrt{5}}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2.8

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{\frac{- 10 \sqrt{5}}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{2^{3}}$

Etapa 14.2.9

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- \frac{\frac{- 10 \sqrt{5}}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{8}$

Etapa 14.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1.1

Reduza a expressão $\frac{- 10 \sqrt{5}}{5}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1.1.1

Fatore $5$ de $- 10 \sqrt{5}$ .

$- \frac{\frac{5 (- 2 \sqrt{5})}{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{8}$

Etapa 14.3.1.1.2

Fatore $5$ de $5$ .

$- \frac{\frac{5 (- 2 \sqrt{5})}{5 (1)} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{8}$

Etapa 14.3.1.1.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{\frac{5 (- 2 \sqrt{5})}{5 \cdot 1} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{8}$

Etapa 14.3.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{\frac{- 2 \sqrt{5}}{1} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{8}$

Etapa 14.3.1.2

Divida $- 2 \sqrt{5}$ por $1$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{5} (5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 3)}{8}$

Etapa 14.3.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{5} (5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}) - 3)}{8}$

Etapa 14.3.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{5} (5 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}) - 3)}{8}$

Etapa 14.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{5} (5 (1 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}) - 3)}{8}$

Etapa 14.3.4

Multiplique $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{5} (5 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 3)}{8}$

Etapa 14.3.5

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{5} (5 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - 3)}{8}$

Etapa 14.3.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{5} (5 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - 3)}{8}$

Etapa 14.3.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{5} (5 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 3)}{8}$

Etapa 14.3.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.5.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{- 2 \sqrt{5} (5 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 3)}{8}$

Etapa 14.3.5.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{- 2 \sqrt{5} (5 \frac{5^{1}}{5^{2}} - 3)}{8}$

Etapa 14.3.5.5

Avalie o expoente.

$- \frac{- 2 \sqrt{5} (5 \frac{5}{5^{2}} - 3)}{8}$

Etapa 14.3.6

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{5} (5 (\frac{5}{25}) - 3)}{8}$

Etapa 14.3.7

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.7.1

Fatore $5$ de $25$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{5} (5 \frac{5}{5 (5)} - 3)}{8}$

Etapa 14.3.7.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{- 2 \sqrt{5} (5 \frac{5}{5 \cdot 5} - 3)}{8}$

Etapa 14.3.7.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{- 2 \sqrt{5} (\frac{5}{5} - 3)}{8}$

Etapa 14.3.8

Divida $5$ por $5$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{5} (1 - 3)}{8}$

Etapa 14.3.9

Subtraia $3$ de $1$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{5} \cdot - 2}{8}$

Etapa 14.3.10

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$- \frac{4 \sqrt{5}}{8}$

Etapa 14.4

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{5}$ .

$- \frac{4 (\sqrt{5})}{8}$

Etapa 14.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$- \frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 2}$

Etapa 14.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 2}$

Etapa 14.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{5}}{2}$

Etapa 15

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{- \frac{\sqrt{5}}{5}}{5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + 1}$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - (- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + 1})$

Etapa 16.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - (- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}) + 1})$

Etapa 16.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - (- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}})) + 1})$

Etapa 16.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - (- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (1 (\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}})) + 1})$

Etapa 16.2.2.3

Multiplique $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - (- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}) + 1})$

Etapa 16.2.2.4

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - (- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}) + 1})$

Etapa 16.2.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - (- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}) + 1})$

Etapa 16.2.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - (- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}) + 1})$

Etapa 16.2.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - (- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}) + 1})$

Etapa 16.2.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - (- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{5}{5^{2}}) + 1})$

Etapa 16.2.2.4.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - (- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{5}{5^{2}}) + 1})$

Etapa 16.2.2.5

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - (- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{5}{25}) + 1})$

Etapa 16.2.2.6

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.6.1

Fatore $5$ de $25$ .

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - (- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{5}{5 (5)}) + 1})$

Etapa 16.2.2.6.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - (- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{5 (\frac{5}{5 \cdot 5}) + 1})$

Etapa 16.2.2.6.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - (- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{\frac{5}{5} + 1})$

Etapa 16.2.2.7

Divida $5$ por $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - (- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{1 + 1})$

Etapa 16.2.2.8

Some $1$ e $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - (- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 16.2.3

Multiplique $- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 16.2.3.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{10}$

Etapa 16.2.4

A resposta final é $\frac{\sqrt{5}}{10}$ .

$y = \frac{\sqrt{5}}{10}$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = - \frac{x}{5 x^{2} + 1}$ .

$(\frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{10})$ é um mínimo local

$(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{10})$ é um máximo local

Etapa 18