Cálculo Exemplos

$\frac{16 x^{2} + 25}{x}$

Etapa 1

Escreva $\frac{16 x^{2} + 25}{x}$ como uma função.

$f (x) = \frac{16 x^{2} + 25}{x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 16 x^{2} + 25$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 25] - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2.2

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x^{2}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $16$ .

$\frac{x (32 x + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2.5

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (32 x + 0) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2.6

Some $32 x$ e $0$ .

$\frac{x (32 x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x^{1}) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{32 x^{1 + 1} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Etapa 2.9

Simplifique.

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Etapa 2.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2}) - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Etapa 2.9.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.9.2.1.1

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Etapa 2.9.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Etapa 2.9.2.2

Subtraia $16 x^{2}$ de $32 x^{2}$ .

$\frac{16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Etapa 2.9.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.3.1

Reescreva $16 x^{2}$ como ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 25}{x^{2}}$

Etapa 2.9.3.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Etapa 2.9.3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4 x$ e $b = 5$ .

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((4 x + 5) (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((4 x + 5) (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((4 x + 5) (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 4 x + 5$ e $g (x) = 4 x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) \frac{d}{d x} (4 x - 5) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 3.4.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 3.4.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 3.4.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 + 0) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 3.4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.6.1

Some $4$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) \cdot 4 + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 3.4.6.2

Mova $4$ para a esquerda de $4 x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 \cdot (4 x + 5) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 3.4.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 3.4.8

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 3.4.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 3.4.10

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 3.4.11

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 + 0)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 3.4.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.12.1

Some $4$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) \cdot 4) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 3.4.12.2

Mova $4$ para a esquerda de $4 x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 \cdot (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 3.4.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 3.4.14

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.4.14.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x}{x^{4}}$

Etapa 3.4.14.2

Fatore $x$ de $x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x$ .

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Etapa 3.4.14.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x}{x^{4}}$

Etapa 3.4.14.2.2

Fatore $x$ de $- 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))) + x (- 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x^{4}}$

Etapa 3.4.14.2.3

Fatore $x$ de $x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))) + x (- 2 (4 x + 5) (4 x - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x^{4}}$

Etapa 3.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 3.5.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 3.5.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x) + 4 \cdot 5 + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x) + 4 \cdot 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x)) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x)) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.6.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{4 \cdot (4 x \cdot x) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.5.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot (4 (x \cdot x)) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot (4 x^{2}) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.4

Multiplique $4$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + x \cdot 20 + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.5

Mova $20$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 \cdot x + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 4 \cdot (4 x \cdot x) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.7

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.5.1.7.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 4 \cdot (4 (x \cdot x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.7.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 4 \cdot (4 x^{2}) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.8

Multiplique $4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.9

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} + x \cdot - 20 + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.10

Mova $- 20$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 \cdot x + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.6.5.1.11.1

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x + (- 8 x - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.11.2

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x + (- 8 x - 10) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.12

Expanda $(- 8 x - 10) (4 x - 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.5.1.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 x (4 x - 5) - 10 (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.13

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.6.5.1.13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.6.5.1.13.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 \cdot (4 x \cdot x) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.13.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.5.1.13.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 \cdot (4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.13.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 \cdot (4 x^{2}) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.13.1.3

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.13.1.4

Multiplique $- 5$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 40 x - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.13.1.5

Multiplique $4$ por $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 40 x - 40 x - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.13.1.6

Multiplique $- 10$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 40 x - 40 x + 50}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.13.2

Subtraia $40 x$ de $40 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 0 + 50}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.1.13.3

Some $- 32 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.2

Combine os termos opostos em $16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.5.2.1

Subtraia $20 x$ de $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 16 x^{2} + 0 - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.2.2

Some $16 x^{2} + 16 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 16 x^{2} - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.3

Some $16 x^{2}$ e $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x^{2} - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.4

Subtraia $32 x^{2}$ de $32 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 50}{x^{3}}$

Etapa 3.6.5.5

Some $0$ e $50$ .

$f'' (x) = \frac{50}{x^{3}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 25] - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.2

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x^{2}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.4

Multiplique $2$ por $16$ .

$\frac{x (32 x + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.5

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (32 x + 0) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.6

Some $32 x$ e $0$ .

$\frac{x (32 x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x^{1}) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{32 x^{1 + 1} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 5.1.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Etapa 5.1.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2}) - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Etapa 5.1.9.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.9.2.1.1

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Etapa 5.1.9.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Etapa 5.1.9.2.2

Subtraia $16 x^{2}$ de $32 x^{2}$ .

$\frac{16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Etapa 5.1.9.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.9.3.1

Reescreva $16 x^{2}$ como ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 25}{x^{2}}$

Etapa 5.1.9.3.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Etapa 5.1.9.3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4 x$ e $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$ .

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$(4 x + 5) (4 x - 5) = 0$

Etapa 6.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 x + 5 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Etapa 6.3.2

Defina $4 x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Defina $4 x + 5$ como igual a $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Etapa 6.3.2.2

Resolva $4 x + 5 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$4 x = - 5$

Etapa 6.3.2.2.2

Divida cada termo em $4 x = - 5$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = - 5$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Etapa 6.3.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Etapa 6.3.2.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Etapa 6.3.2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5}{4}$

Etapa 6.3.3

Defina $4 x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Defina $4 x - 5$ como igual a $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Etapa 6.3.3.2

Resolva $4 x - 5 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$4 x = 5$

Etapa 6.3.3.2.2

Divida cada termo em $4 x = 5$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = 5$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Etapa 6.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Etapa 6.3.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Etapa 6.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $(4 x + 5) (4 x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5}{4}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina o denominador em $\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 7.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 7.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 7.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5}{4}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{5}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{50}{{(- \frac{5}{4})}^{3}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{4}$ .

$\frac{50}{{(- 1)}^{3} {(\frac{5}{4})}^{3}}$

Etapa 10.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{50}{- {(\frac{5}{4})}^{3}}$

Etapa 10.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{4}$ .

$\frac{50}{- \frac{5^{3}}{4^{3}}}$

Etapa 10.1.4

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$\frac{50}{- \frac{125}{4^{3}}}$

Etapa 10.1.5

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{50}{- \frac{125}{64}}$

Etapa 10.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$50 (- \frac{64}{125})$

Etapa 10.3

Cancele o fator comum de $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{64}{125}$ para o numerador.

$50 (\frac{- 64}{125})$

Etapa 10.3.2

Fatore $25$ de $50$ .

$25 (2) \frac{- 64}{125}$

Etapa 10.3.3

Fatore $25$ de $125$ .

$25 \cdot 2 \frac{- 64}{25 \cdot 5}$

Etapa 10.3.4

Cancele o fator comum.

$25 \cdot 2 \frac{- 64}{25 \cdot 5}$

Etapa 10.3.5

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{- 64}{5})$

Etapa 10.4

Combine $2$ e $\frac{- 64}{5}$ .

$\frac{2 \cdot - 64}{5}$

Etapa 10.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Multiplique $2$ por $- 64$ .

$\frac{- 128}{5}$

Etapa 10.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{128}{5}$

Etapa 11

$x = - \frac{5}{4}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{5}{4}$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = - \frac{5}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{5}{4}$ na expressão.

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{16 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 25}{- \frac{5}{4}}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{5}{4}) = (16 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 25) (- \frac{4}{5})$

Etapa 12.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Etapa 12.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 25) (- \frac{4}{5})$

Etapa 12.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (1 (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 25) (- \frac{4}{5})$

Etapa 12.2.2.3

Multiplique $\frac{5^{2}}{4^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Etapa 12.2.2.4

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{4^{2}}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Etapa 12.2.2.5

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Etapa 12.2.2.6

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.6.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Etapa 12.2.2.6.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{5}{4}) = (25 + 25) (- \frac{4}{5})$

Etapa 12.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Some $25$ e $25$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 50 (- \frac{4}{5})$

Etapa 12.2.3.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{5}$ para o numerador.

$f (- \frac{5}{4}) = 50 (\frac{- 4}{5})$

Etapa 12.2.3.2.2

Fatore $5$ de $50$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 5 (10) (\frac{- 4}{5})$

Etapa 12.2.3.2.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{5}{4}) = 5 \cdot (10 (\frac{- 4}{5}))$

Etapa 12.2.3.2.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{5}{4}) = 10 \cdot - 4$

Etapa 12.2.3.3

Multiplique $10$ por $- 4$ .

$f (- \frac{5}{4}) = - 40$

Etapa 12.2.4

A resposta final é $- 40$ .

$y = - 40$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{50}{{(\frac{5}{4})}^{3}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{4}$ .

$\frac{50}{\frac{5^{3}}{4^{3}}}$

Etapa 14.1.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$\frac{50}{\frac{125}{4^{3}}}$

Etapa 14.1.3

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{50}{\frac{125}{64}}$

Etapa 14.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$50 (\frac{64}{125})$

Etapa 14.3

Cancele o fator comum de $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Fatore $25$ de $50$ .

$25 (2) \frac{64}{125}$

Etapa 14.3.2

Fatore $25$ de $125$ .

$25 \cdot 2 \frac{64}{25 \cdot 5}$

Etapa 14.3.3

Cancele o fator comum.

$25 \cdot 2 \frac{64}{25 \cdot 5}$

Etapa 14.3.4

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{64}{5})$

Etapa 14.4

Combine $2$ e $\frac{64}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 64}{5}$

Etapa 14.5

Multiplique $2$ por $64$ .

$\frac{128}{5}$

Etapa 15

$x = \frac{5}{4}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{5}{4}$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = \frac{5}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5}{4}$ na expressão.

$f (\frac{5}{4}) = \frac{16 {(\frac{5}{4})}^{2} + 25}{\frac{5}{4}}$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{5}{4}) = (16 {(\frac{5}{4})}^{2} + 25) (\frac{4}{5})$

Etapa 16.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{4}$ .

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 25) (\frac{4}{5})$

Etapa 16.2.2.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{4^{2}}) + 25) (\frac{4}{5})$

Etapa 16.2.2.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (\frac{4}{5})$

Etapa 16.2.2.4

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (\frac{4}{5})$

Etapa 16.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5}{4}) = (25 + 25) (\frac{4}{5})$

Etapa 16.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.3.1

Some $25$ e $25$ .

$f (\frac{5}{4}) = 50 (\frac{4}{5})$

Etapa 16.2.3.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.3.2.1

Fatore $5$ de $50$ .

$f (\frac{5}{4}) = 5 (10) (\frac{4}{5})$

Etapa 16.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5}{4}) = 5 \cdot (10 (\frac{4}{5}))$

Etapa 16.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cdot 4$

Etapa 16.2.3.3

Multiplique $10$ por $4$ .

$f (\frac{5}{4}) = 40$

Etapa 16.2.4

A resposta final é $40$ .

$y = 40$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{16 x^{2} + 25}{x}$ .

$(- \frac{5}{4}, - 40)$ é um máximo local

$(\frac{5}{4}, 40)$ é um mínimo local

Etapa 18