Cálculo Exemplos

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Escreva $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ como uma função.

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.9.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.9.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.2

Expanda $(2 x^{2} + 2) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} (x - 1) + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.3.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.3.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.4

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 ((x - 1) (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.5

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.6.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.6.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.6.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.6.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.8.1

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.8.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.9

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{2} x + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.10.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.10.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.10.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.10.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.10.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.10.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.10.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.10.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.10.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 0 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Some $- 2 x^{2} + 2 x - 2$ e $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.3

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.4

Some $- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.3

Some $- 2 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.3.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.3.1.3

Fatore $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.3.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 3.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}})$

Etapa 3.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}})$

Etapa 3.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.5.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.5.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.5.4.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.5.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.5.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.5.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.5.8.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.5.8.3

Some $x$ e $x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.5.8.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.5.8.4.2

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.5.8.4.3

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 \cdot ({(x^{2} + 1)}^{2} x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.7

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.7.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.7.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.7.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.7.5

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.7.5.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.5.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.7.5.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 3.7.5.3

Combine $2$ e $\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.1

Reescreva ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.2

Expanda $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.3.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.3.2

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x^{4} + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{4} x + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.7.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.7.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.7.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.7.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{1 + 4} + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.7.1.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.7.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.7.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.7.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.7.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{3} + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.9.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.9.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.9.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.10

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x - 4) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.11

Expanda $(- 4 x - 4) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x (x - 1) - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.12.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.12.1.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.12.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.12.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.12.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.12.2

Subtraia $4 x$ de $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 0 + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.12.3

Some $- 4 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.13

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.13.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.13.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.13.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.13.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2 + 1} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.13.1.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.13.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.14

Expanda $(- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} (x^{3} + x) + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.14.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.15

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.15.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.15.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.15.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.15.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.15.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.15.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.15.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.15.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.15.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.15.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.15.2

Some $- 4 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} + 0 + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.15.3

Some $- 4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.16

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5}) + 2 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.17

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x - 8 x^{5} + 2 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.1.18

Multiplique $4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x - 8 x^{5} + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.2

Subtraia $8 x^{5}$ de $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.4.3

Some $4 x$ e $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.5.1

Fatore $4 x$ de $- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.5.1.1

Fatore $4 x$ de $- 4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4}) + 8 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.5.1.2

Fatore $4 x$ de $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2}) + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.5.1.3

Fatore $4 x$ de $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2}) + 4 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.5.1.4

Fatore $4 x$ de $4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 4 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.5.1.5

Fatore $4 x$ de $4 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 4 x (3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.5.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.5.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} + 2 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.5.4

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.5.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ e cuja soma é $b = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.5.4.1.1

Fatore $2$ de $2 u$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} + 2 (u) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.5.4.1.2

Reescreva $2$ como $- 1$ mais $3$

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.5.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} - 1 u + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.5.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.5.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f'' (x) = \frac{4 x ((- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.5.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f'' (x) = \frac{4 x (u (- u - 1) - 3 (- u - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.5.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ((- u - 1) (u - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.5.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{2} - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.6

Cancele o fator comum de $- x^{2} - 1$ e ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.6.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- (x^{2}) - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.6.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- (x^{2}) - 1 \cdot 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.6.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.6.4

Reescreva $- (x^{2} + 1)$ como $- 1 (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.6.5

Fatore $x^{2} + 1$ de $4 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.6.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.6.6.1

Fatore $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.8.6.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.8.6.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.8.7

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.8.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.9.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.9.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.2

Expanda $(2 x^{2} + 2) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} (x - 1) + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1.3.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.3.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.4

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 ((x - 1) (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.5

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.6.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.6.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.6.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.6.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1.8.1

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.8.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.9

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{2} x + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1.10.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1.10.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.10.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1.10.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.10.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.10.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.10.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1.10.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.1.10.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 0 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.2.2

Some $- 2 x^{2} + 2 x - 2$ e $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.2.3

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.2.4

Some $- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.3

Some $- 2 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.4.3.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 2$ .

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Etapa 5.1.4.3.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.3.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.3.1.3

Fatore $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.3.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.4.3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 6.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 6.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 6.3.2

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.3.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 6.3.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6.3.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.3.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 6.3.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 1, 1$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{4 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.2

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{2^{3}}$

Etapa 10.2.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{8}$

Etapa 10.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{- 4 (1 - 3)}{8}$

Etapa 10.3.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$- \frac{- 4 \cdot - 2}{8}$

Etapa 10.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 10.4.1

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$- \frac{8}{8}$

Etapa 10.4.2

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 10.4.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{8}{8}$

Etapa 10.4.2.2

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 1$

Etapa 10.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 11

$x = - 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Cancele o fator comum de ${((- 1) - 1)}^{2}$ e ${(- 1)}^{2} + 1$ .

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Etapa 12.2.1.1

Fatore $- 1$ de ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{1 + 1}$

Etapa 12.2.1.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{1 - 1 \cdot - 1}$

Etapa 12.2.1.3

Fatore $- 1$ de $- - 1 - 1 (- 1)$ .

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{- (- 1 - 1)}$

Etapa 12.2.1.4

Reescreva $- (- 1 - 1)$ como $- 1 (- 1 - 1)$ .

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{- 1 (- 1 - 1)}$

Etapa 12.2.1.5

Fatore $- 1 - 1$ de ${(- 1 - 1)}^{2}$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1 - 1) (- 1 - 1)}{- 1 (- 1 - 1)}$

Etapa 12.2.1.6

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 1 - 1}{- 1}$ .

$f (- 1) = - 1 \cdot (- 1 - 1)$

Etapa 12.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 12.2.2.1

Reescreva $- 1 \cdot (- 1 - 1)$ como $- (- 1 - 1)$ .

$f (- 1) = - (- 1 - 1)$

Etapa 12.2.2.2

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$f (- 1) = 2$

Etapa 12.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 1) = 2$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{4 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{{(1^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2.2

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{2^{3}}$

Etapa 14.2.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{8}$

Etapa 14.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{4 (1 - 3)}{8}$

Etapa 14.3.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$- \frac{4 \cdot - 2}{8}$

Etapa 14.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- \frac{- 8}{8}$

Etapa 14.4.2

Divida $- 8$ por $8$ .

$- - 1$

Etapa 14.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1$

Etapa 15

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

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Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{{((1) - 1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 1}$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (1) = \frac{0^{2}}{1^{2} + 1}$

Etapa 16.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (1) = \frac{0}{1^{2} + 1}$

Etapa 16.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{0}{1 + 1}$

Etapa 16.2.2.2

Some $1$ e $1$ .

$f (1) = \frac{0}{2}$

Etapa 16.2.3

Divida $0$ por $2$ .

$f (1) = 0$

Etapa 16.2.4

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ .

$(- 1, 2)$ é um máximo local

$(1, 0)$ é um mínimo local

Etapa 18