Cálculo Exemplos

$\frac{3 x}{\sqrt{x - 4}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{3 x}{\sqrt{x - 4}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{3 x}{\sqrt{x - 4}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 4}$ como ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 4)}^{1}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 4}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 4}$

Etapa 2.5.2

Multiplique ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 4}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 4$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 4$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 2.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 2.11

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 2.11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 2.11.3

Mova ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 2.11.4

Combine $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{x - 4}$

Etapa 2.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{x - 4}$

Etapa 2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{x - 4}$

Etapa 2.14

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{x - 4}$

Etapa 2.15

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.1

Some $1$ e $0$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - 4}$

Etapa 2.15.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 2.16

Para escrever ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 2.17

Combine ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 2.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 2.19

Multiplique ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.19.1

Mova ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 2.19.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 \frac{\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 2.19.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{\frac{{(x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 2.19.4

Some $1$ e $1$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 2.19.5

Divida $2$ por $2$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 4)}^{1} \cdot 2 - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 2.20

Simplifique ${(x - 4)}^{1} \cdot 2$ .

$3 \frac{\frac{(x - 4) \cdot 2 - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 2.21

Mova $2$ para a esquerda de $x - 4$ .

$3 \frac{\frac{2 \cdot (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 2.22

Reescreva $\frac{\frac{2 (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$ como um produto.

$3 (\frac{2 (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - 4})$

Etapa 2.23

Multiplique $\frac{2 (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x - 4}$ .

$3 \frac{2 (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 4)}$

Etapa 2.24

Eleve $x - 4$ à potência de $1$ .

$3 \frac{2 (x - 4) - x}{2 ({(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 2.25

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 \frac{2 (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 2.26

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.26.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$3 \frac{2 (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 2.26.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{2 (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 2.26.3

Some $2$ e $1$ .

$3 \frac{2 (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.27

Combine $3$ e $\frac{2 (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (2 (x - 4) - x)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.28

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.28.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x + 2 \cdot - 4 - x)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.28.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 \cdot - 4) + 3 (- x)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.28.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.28.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.28.3.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 x + 3 (2 \cdot - 4) + 3 (- x)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.28.3.1.2

Multiplique $3 (2 \cdot - 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.28.3.1.2.1

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$\frac{6 x + 3 \cdot - 8 + 3 (- x)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.28.3.1.2.2

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$\frac{6 x - 24 + 3 (- x)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.28.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{6 x - 24 - 3 x}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.28.3.2

Subtraia $3 x$ de $6 x$ .

$\frac{3 x - 24}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.28.4

Fatore $3$ de $3 x - 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.28.4.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 (x) - 24}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.28.4.2

Fatore $3$ de $- 24$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.28.4.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot - 8$ .

$\frac{3 (x - 8)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 (x - 8)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 8}{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x - 8}{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 3.2

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{({(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.3.4

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (1 + 0) - (x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - (x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - (x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 4$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - (x - 8) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - (x - 8) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 4$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - (x - 8) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - (x - 8) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - (x - 8) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - (x - 8) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - (x - 8) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.8.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - (x - 8) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.9

Combine $\frac{3}{2}$ e ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - (x - 8) (\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - (x - 8) (\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - (x - 8) (\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.12

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - (x - 8) (\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (1 + 0))}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.13

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - (x - 8) (\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.2

Multiplique $\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - (x - 8) \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.3

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - (x - 8) \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(x - 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - (x - 8) \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + (- x + 8) (\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + 3 ((- x + 8) (\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.3.1

Fatore $3$ de $3 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + 3 (- x - - 8) \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.3.1.1

Fatore $3$ de $3 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}}) + 3 (- x + 8) (\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.1.2

Fatore $3$ de $3 (- x - - 8) \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}}) + 3 ((- x + 8) (\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.1.3

Fatore $3$ de $3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}}) + 3 ((- x - - 8) \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + (- x + 8) (\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + (- x + 8) (\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - x \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 8 (\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.4

Combine $\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 8 (\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.3.5.1

Fatore $2$ de $8$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 2 (4) (\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.5.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 2 \cdot (4 (\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2})))}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.5.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 4 (3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.6

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 12 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.7

Para escrever $12 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 12 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.8

Combine $12 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + \frac{12 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x + 12 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.3.10.1

Fatore $3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ de $- 3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x + 12 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.3.10.1.1

Reordene a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.3.10.1.1.1

Mova ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 x {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 12 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.10.1.1.2

Mova ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 x {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 12 \cdot (2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.10.1.2

Fatore $3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ de $- 3 x {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x) + 12 \cdot (2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.10.1.3

Fatore $3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ de $12 \cdot 2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x) + 3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 2)}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.10.1.4

Fatore $3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ de $3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x) + 3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 2)$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x + 4 \cdot 2)}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.10.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x + 8)}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.11

Para escrever ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x + 8)}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.12

Combine ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x + 8)}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x + 8)}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.14

Reescreva $\frac{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x + 8)}{2}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.3.14.1

Fatore ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x + 8)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.3.14.1.1

Reordene ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 \cdot {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + 3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x + 8)}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.14.1.2

Fatore ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ de $2 \cdot {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x - 4)}^{\frac{2}{2}}) + 3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x + 8)}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.14.1.3

Fatore ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ de $3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x + 8)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x - 4)}^{\frac{2}{2}}) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (3 (- x + 8))}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.14.1.4

Fatore ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x - 4)}^{\frac{2}{2}}) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (3 (- x + 8))$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x - 4)}^{\frac{2}{2}} + 3 (- x + 8))}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.14.2

Divida $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (x - 4) + 3 (- x + 8))}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.14.3

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (x - 4) + 3 (- x + 8))}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.14.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot - 4 + 3 (- x + 8))}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.14.5

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8 + 3 (- x + 8))}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.14.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8 + 3 (- x) + 3 \cdot 8)}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.14.7

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8 - 3 x + 3 \cdot 8)}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.14.8

Multiplique $3$ por $8$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8 - 3 x + 24)}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.14.9

Subtraia $3 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x - 8 + 24)}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.3.14.10

Some $- 8$ e $24$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x + 16)}{2})}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.4.1

Combine $3$ e $\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x + 16)}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 ({(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x + 16))}{2}}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.4.2

Reescreva $\frac{\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x + 16)}{2}}{2 {(x - 4)}^{3}}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x + 16)}{2} \cdot \frac{1}{2 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.4.3

Multiplique $\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x + 16)}{2}$ por $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x + 16)}{2 (2 {(x - 4)}^{3})}$

Etapa 3.14.4.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (- x + 16)}{4 {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.14.4.5

Mova ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 16)}{4 {(x - 4)}^{3} {(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 3.14.4.6

Multiplique ${(x - 4)}^{3}$ por ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.4.6.1

Mova ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 16)}{4 ({(x - 4)}^{- \frac{1}{2}} {(x - 4)}^{3})}$

Etapa 3.14.4.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 16)}{4 {(x - 4)}^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Etapa 3.14.4.6.3

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 16)}{4 {(x - 4)}^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Etapa 3.14.4.6.4

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 16)}{4 {(x - 4)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 3.14.4.6.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 16)}{4 {(x - 4)}^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 3.14.4.6.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.4.6.6.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 16)}{4 {(x - 4)}^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Etapa 3.14.4.6.6.2

Some $- 1$ e $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 16)}{4 {(x - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 3.14.5

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- (x) + 16)}{4 {(x - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 3.14.6

Reescreva $16$ como $- 1 (- 16)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- (x) - 1 \cdot - 16)}{4 {(x - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 3.14.7

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 16)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- (x - 16))}{4 {(x - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 3.14.8

Reescreva $- (x - 16)$ como $- 1 (x - 16)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- 1 (x - 16))}{4 {(x - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 3.14.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{3 (x - 16)}{4 {(x - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{3 (x - 8)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 4}$ como ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 5.1.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 5.1.2

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 4)}^{1}}$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 4}$

Etapa 5.1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 4}$

Etapa 5.1.5.2

Multiplique ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 4}$

Etapa 5.1.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 4$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 5.1.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 5.1.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 4$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 5.1.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 5.1.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 5.1.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 5.1.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 5.1.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 5.1.11

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 5.1.11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 5.1.11.3

Mova ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 4])}{x - 4}$

Etapa 5.1.11.4

Combine $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{x - 4}$

Etapa 5.1.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{x - 4}$

Etapa 5.1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{x - 4}$

Etapa 5.1.14

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{x - 4}$

Etapa 5.1.15

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.15.1

Some $1$ e $0$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - 4}$

Etapa 5.1.15.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 5.1.16

Para escrever ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 5.1.17

Combine ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 5.1.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 5.1.19

Multiplique ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.19.1

Mova ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 5.1.19.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 \frac{\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 5.1.19.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{\frac{{(x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 5.1.19.4

Some $1$ e $1$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 5.1.19.5

Divida $2$ por $2$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 4)}^{1} \cdot 2 - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 5.1.20

Simplifique ${(x - 4)}^{1} \cdot 2$ .

$3 \frac{\frac{(x - 4) \cdot 2 - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 5.1.21

Mova $2$ para a esquerda de $x - 4$ .

$3 \frac{\frac{2 \cdot (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Etapa 5.1.22

Reescreva $\frac{\frac{2 (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$ como um produto.

$3 (\frac{2 (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - 4})$

Etapa 5.1.23

Multiplique $\frac{2 (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x - 4}$ .

$3 \frac{2 (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 4)}$

Etapa 5.1.24

Eleve $x - 4$ à potência de $1$ .

$3 \frac{2 (x - 4) - x}{2 ({(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 5.1.25

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 \frac{2 (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.26

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.26.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$3 \frac{2 (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.26.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{2 (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 5.1.26.3

Some $2$ e $1$ .

$3 \frac{2 (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.1.27

Combine $3$ e $\frac{2 (x - 4) - x}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (2 (x - 4) - x)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.1.28

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.28.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x + 2 \cdot - 4 - x)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.1.28.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 \cdot - 4) + 3 (- x)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.1.28.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.28.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.28.3.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 x + 3 (2 \cdot - 4) + 3 (- x)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.1.28.3.1.2

Multiplique $3 (2 \cdot - 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.28.3.1.2.1

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$\frac{6 x + 3 \cdot - 8 + 3 (- x)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.1.28.3.1.2.2

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$\frac{6 x - 24 + 3 (- x)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.1.28.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{6 x - 24 - 3 x}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.1.28.3.2

Subtraia $3 x$ de $6 x$ .

$\frac{3 x - 24}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.1.28.4

Fatore $3$ de $3 x - 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.28.4.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 (x) - 24}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.1.28.4.2

Fatore $3$ de $- 24$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.1.28.4.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot - 8$ .

$f' (x) = \frac{3 (x - 8)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3 (x - 8)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (x - 8)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 (x - 8)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{3 (x - 8)}{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 (x - 8) = 0$

Etapa 6.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $3 (x - 8) = 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Divida cada termo em $3 (x - 8) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x - 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 6.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x - 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 6.3.1.2.1.2

Divida $x - 8$ por $1$ .

$x - 8 = \frac{0}{3}$

Etapa 6.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x - 8 = 0$

Etapa 6.3.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{3 (x - 8)}{2 \sqrt{{(x - 4)}^{3}}}$

Etapa 7.2

Defina o denominador em $\frac{3 (x - 8)}{2 \sqrt{{(x - 4)}^{3}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{{(x - 4)}^{3}} = 0$

Etapa 7.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{{(x - 4)}^{3}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{{(x - 4)}^{3}}$ como ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Simplifique ${(2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {({(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(x - 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(x - 4)}^{3} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 {(x - 4)}^{3} = 0$

Etapa 7.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1

Divida cada termo em $4 {(x - 4)}^{3} = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1.1

Divida cada termo em $4 {(x - 4)}^{3} = 0$ por $4$ .

$\frac{4 {(x - 4)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 7.3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 {(x - 4)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 7.3.3.1.2.1.2

Divida ${(x - 4)}^{3}$ por $1$ .

${(x - 4)}^{3} = \frac{0}{4}$

Etapa 7.3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1.3.1

Divida $0$ por $4$ .

${(x - 4)}^{3} = 0$

Etapa 7.3.3.2

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 7.3.3.3

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 7.4

Defina o radicando em $\sqrt{{(x - 4)}^{3}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 4)}^{3} < 0$

Etapa 7.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt[3]{{(x - 4)}^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Etapa 7.5.2

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x - 4 < \sqrt[3]{0}$

Etapa 7.5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.2.1

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x - 4 < \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 7.5.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x - 4 < 0$

Etapa 7.5.3

Some $4$ aos dois lados da desigualdade.

$x < 4$

Etapa 7.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 4$

$(- \infty, 4]$

$x \leq 4$

$(- \infty, 4]$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 8$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 8$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{3 ((8) - 16)}{4 {((8) - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Fatore $4$ de $3 ((8) - 16)$ .

$- \frac{4 (3 (2 - 4))}{4 {((8) - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Fatore $4$ de $4 {((8) - 4)}^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{4 (3 (2 - 4))}{4 ({((8) - 4)}^{\frac{5}{2}})}$

Etapa 10.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{4 (3 (2 - 4))}{4 {((8) - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 10.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{3 (2 - 4)}{{((8) - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 10.3

Subtraia $4$ de $2$ .

$- \frac{3 \cdot - 2}{{(8 - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 10.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Subtraia $4$ de $8$ .

$- \frac{3 \cdot - 2}{4^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 10.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{3 \cdot - 2}{{(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 10.4.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \cdot - 2}{2^{2 (\frac{5}{2})}}$

Etapa 10.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 \cdot - 2}{2^{2 (\frac{5}{2})}}$

Etapa 10.4.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{3 \cdot - 2}{2^{5}}$

Etapa 10.4.5

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$- \frac{3 \cdot - 2}{32}$

Etapa 10.5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- \frac{- 6}{32}$

Etapa 10.5.2

Cancele o fator comum de $- 6$ e $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$- \frac{2 (- 3)}{32}$

Etapa 10.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.2.1

Fatore $2$ de $32$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 16}$

Etapa 10.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 16}$

Etapa 10.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{- 3}{16}$

Etapa 10.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{3}{16}$

Etapa 10.6

Multiplique $- - \frac{3}{16}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{3}{16})$

Etapa 10.6.2

Multiplique $\frac{3}{16}$ por $1$ .

$\frac{3}{16}$

Etapa 11

$x = 8$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 8$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f (8) = \frac{3 (8)}{\sqrt{(8) - 4}}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Multiplique $3$ por $8$ .

$f (8) = \frac{24}{\sqrt{8 - 4}}$

Etapa 12.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Subtraia $4$ de $8$ .

$f (8) = \frac{24}{\sqrt{4}}$

Etapa 12.2.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (8) = \frac{24}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 12.2.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (8) = \frac{24}{2}$

Etapa 12.2.3

Divida $24$ por $2$ .

$f (8) = 12$

Etapa 12.2.4

A resposta final é $12$ .

$y = 12$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{3 x}{\sqrt{x - 4}}$ .

$(8, 12)$ é um mínimo local

Etapa 14