Cálculo Exemplos

$6 x^{2} - 72 x + 162$

Etapa 1

Escreva $6 x^{2} - 72 x + 162$ como uma função.

$f (x) = 6 x^{2} - 72 x + 162$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} - 72 x + 162$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [162]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [162]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [162]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [162]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [162]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72 x$ em relação a $x$ é $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [162]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [162]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 72$ por $1$ .

$12 x - 72 + \frac{d}{d x} [162]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $162$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $162$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x - 72 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $12 x - 72$ e $0$ .

$12 x - 72$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x - 72$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 72)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 + \frac{d}{d x} (- 72)$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 + 0$

Etapa 3.3.2

Some $12$ e $0$ .

$f'' (x) = 12$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$12 x - 72 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} - 72 x + 162$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [162]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [162]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [162]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [162]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [162]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72 x$ em relação a $x$ é $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [162]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [162]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $- 72$ por $1$ .

$12 x - 72 + \frac{d}{d x} [162]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $162$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $162$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x - 72 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $12 x - 72$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x - 72$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x - 72$ .

$12 x - 72$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x - 72 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x - 72 = 0$

Etapa 6.2

Some $72$ aos dois lados da equação.

$12 x = 72$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $12 x = 72$ por $12$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $12 x = 72$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{72}{12}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x}{12} = \frac{72}{12}$

Etapa 6.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{72}{12}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Divida $72$ por $12$ .

$x = 6$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 6$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 6$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12$

Etapa 10

$x = 6$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 6$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 6$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = 6 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 162$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Multiplique $6$ por ${(6)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.2.1.1.1

Multiplique $6$ por ${(6)}^{2}$ .

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Etapa 11.2.1.1.1.1

Eleve $6$ à potência de $1$ .

$f (6) = 6 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 162$

Etapa 11.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (6) = 6^{1 + 2} - 72 \cdot 6 + 162$

Etapa 11.2.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f (6) = 6^{3} - 72 \cdot 6 + 162$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f (6) = 216 - 72 \cdot 6 + 162$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $- 72$ por $6$ .

$f (6) = 216 - 432 + 162$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 11.2.2.1

Subtraia $432$ de $216$ .

$f (6) = - 216 + 162$

Etapa 11.2.2.2

Some $- 216$ e $162$ .

$f (6) = - 54$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $- 54$ .

$y = - 54$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = 6 x^{2} - 72 x + 162$ .

$(6, - 54)$ é um mínimo local

Etapa 13