Cálculo Exemplos

${(t^{2} - 4)}^{3}$

Etapa 1

Escreva ${(t^{2} - 4)}^{3}$ como uma função.

$f (t) = {(t^{2} - 4)}^{3}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = t^{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{2} - 4$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} - 4$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])$

Etapa 2.2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 4$ em relação a $t$ é $0$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + 0)$

Etapa 2.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Some $2 t$ e $0$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t)$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 {(t^{2} - 4)}^{2} t$

Etapa 2.2.4.3

Reordene os fatores de $6 {(t^{2} - 4)}^{2} t$ .

$6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$ em relação a $t$ é $6 \frac{d}{d t} [t {(t^{2} - 4)}^{2}]$ .

$f'' (t) = 6 \frac{d}{d t} (t {(t^{2} - 4)}^{2})$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = {(t^{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (t) = 6 (t \frac{d}{d t} ({(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t^{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{2} - 4$ .

$f'' (t) = 6 (t (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d t} (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (t) = 6 (t (2 u \frac{d}{d t} (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{2} - 4$ .

$f'' (t) = 6 (t (2 (t^{2} - 4) \frac{d}{d t} (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Etapa 3.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} - 4$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$f'' (t) = 6 (t (2 (t^{2} - 4) (\frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 4))) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (t) = 6 (t (2 (t^{2} - 4) (2 t + \frac{d}{d t} (- 4))) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Etapa 3.4.3

Como $- 4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 4$ em relação a $t$ é $0$ .

$f'' (t) = 6 (t (2 (t^{2} - 4) (2 t + 0)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Etapa 3.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Some $2 t$ e $0$ .

$f'' (t) = 6 (t (2 (t^{2} - 4) (2 t)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Etapa 3.4.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (t) = 6 (t (4 (t^{2} - 4) t) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Etapa 3.5

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$f'' (t) = 6 (t \cdot t (4 (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Etapa 3.6

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$f'' (t) = 6 (t \cdot t (4 (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Etapa 3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (t) = 6 (t^{1 + 1} (4 (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Etapa 3.8

Some $1$ e $1$ .

$f'' (t) = 6 (t^{2} (4 (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (t) = 6 (t^{2} (4 (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \cdot 1)$

Etapa 3.10

Multiplique ${(t^{2} - 4)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (t) = 6 (t^{2} (4 (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2})$

Etapa 3.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (t) = 6 (t^{2} (4 t^{2} + 4 \cdot - 4) + {(t^{2} - 4)}^{2})$

Etapa 3.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (t) = 6 (t^{2} (4 t^{2}) + t^{2} (4 \cdot - 4) + {(t^{2} - 4)}^{2})$

Etapa 3.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (t) = 6 (t^{2} (4 t^{2})) + 6 (t^{2} (4 \cdot - 4)) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 3.11.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.1

Multiplique $t^{2}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.1.1

Mova $t^{2}$ .

$f'' (t) = 6 (t^{2} t^{2} \cdot 4) + 6 (t^{2} (4 \cdot - 4)) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 3.11.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (t) = 6 (t^{2 + 2} \cdot 4) + 6 (t^{2} (4 \cdot - 4)) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 3.11.4.1.3

Some $2$ e $2$ .

$f'' (t) = 6 (t^{4} \cdot 4) + 6 (t^{2} (4 \cdot - 4)) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 3.11.4.2

Mova $4$ para a esquerda de $t^{4}$ .

$f'' (t) = 6 (4 \cdot t^{4}) + 6 (t^{2} (4 \cdot - 4)) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 3.11.4.3

Multiplique $4$ por $6$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} + 6 (t^{2} (4 \cdot - 4)) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 3.11.4.4

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} + 6 (t^{2} \cdot - 16) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 3.11.4.5

Mova $- 16$ para a esquerda de $t^{2}$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} + 6 (- 16 \cdot t^{2}) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 3.11.4.6

Multiplique $- 16$ por $6$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 3.11.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.5.1

Reescreva ${(t^{2} - 4)}^{2}$ como $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 ((t^{2} - 4) (t^{2} - 4))$

Etapa 3.11.5.2

Expanda $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{2} (t^{2} - 4) - 4 (t^{2} - 4))$

Etapa 3.11.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 (t^{2} - 4))$

Etapa 3.11.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4)$

Etapa 3.11.5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.5.3.1.1

Multiplique $t^{2}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.5.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4)$

Etapa 3.11.5.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{4} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4)$

Etapa 3.11.5.3.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $t^{2}$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{4} - 4 \cdot t^{2} - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4)$

Etapa 3.11.5.3.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{4} - 4 t^{2} - 4 t^{2} + 16)$

Etapa 3.11.5.3.2

Subtraia $4 t^{2}$ de $- 4 t^{2}$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{4} - 8 t^{2} + 16)$

Etapa 3.11.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 t^{4} + 6 (- 8 t^{2}) + 6 \cdot 16$

Etapa 3.11.5.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.5.5.1

Multiplique $- 8$ por $6$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 t^{4} - 48 t^{2} + 6 \cdot 16$

Etapa 3.11.5.5.2

Multiplique $6$ por $16$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 t^{4} - 48 t^{2} + 96$

Etapa 3.11.6

Some $24 t^{4}$ e $6 t^{4}$ .

$f'' (t) = 30 t^{4} - 96 t^{2} - 48 t^{2} + 96$

Etapa 3.11.7

Subtraia $48 t^{2}$ de $- 96 t^{2}$ .

$f'' (t) = 30 t^{4} - 144 t^{2} + 96$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$6 t {(t^{2} - 4)}^{2} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = t^{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

Etapa 5.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{2} - 4$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

Etapa 5.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} - 4$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])$

Etapa 5.1.2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 4$ em relação a $t$ é $0$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + 0)$

Etapa 5.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.4.1

Some $2 t$ e $0$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t)$

Etapa 5.1.2.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 {(t^{2} - 4)}^{2} t$

Etapa 5.1.2.4.3

Reordene os fatores de $6 {(t^{2} - 4)}^{2} t$ .

$f' (t) = 6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (t)$ com relação a $t$ é $6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$ .

$6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 t {(t^{2} - 4)}^{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 t {(t^{2} - 4)}^{2} = 0$

Etapa 6.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$t = 0$

${(t^{2} - 4)}^{2} = 0$

Etapa 6.3

Defina $t$ como igual a $0$ .

$t = 0$

Etapa 6.4

Defina ${(t^{2} - 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina ${(t^{2} - 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(t^{2} - 4)}^{2} = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva ${(t^{2} - 4)}^{2} = 0$ para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

${(t^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Etapa 6.4.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = t$ e $b = 2$ .

${((t + 2) (t - 2))}^{2} = 0$

Etapa 6.4.2.1.3

Aplique a regra do produto a $(t + 2) (t - 2)$ .

${(t + 2)}^{2} {(t - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.4.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(t + 2)}^{2} = 0$

${(t - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.4.2.3

Defina ${(t + 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1

Defina ${(t + 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(t + 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.4.2.3.2

Resolva ${(t + 2)}^{2} = 0$ para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.2.1

Defina $t + 2$ como igual a $0$ .

$t + 2 = 0$

Etapa 6.4.2.3.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$t = - 2$

Etapa 6.4.2.4

Defina ${(t - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.4.1

Defina ${(t - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(t - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.4.2.4.2

Resolva ${(t - 2)}^{2} = 0$ para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.4.2.1

Defina $t - 2$ como igual a $0$ .

$t - 2 = 0$

Etapa 6.4.2.4.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$t = 2$

Etapa 6.4.2.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(t + 2)}^{2} {(t - 2)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$t = - 2, 2$

Etapa 6.5

A solução final são todos os valores que tornam $6 t {(t^{2} - 4)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$t = 0, - 2, 2$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$t = 0, - 2, 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $t = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$30 {(0)}^{4} - 144 {(0)}^{2} + 96$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$30 \cdot 0 - 144 {(0)}^{2} + 96$

Etapa 10.1.2

Multiplique $30$ por $0$ .

$0 - 144 {(0)}^{2} + 96$

Etapa 10.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 144 \cdot 0 + 96$

Etapa 10.1.4

Multiplique $- 144$ por $0$ .

$0 + 0 + 96$

Etapa 10.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 96$

Etapa 10.2.2

Some $0$ e $96$ .

$96$

Etapa 11

$t = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$t = 0$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $t = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $t$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {({(0)}^{2} - 4)}^{3}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = {(0 - 4)}^{3}$

Etapa 12.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$f (0) = {(- 4)}^{3}$

Etapa 12.2.3

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f (0) = - 64$

Etapa 12.2.4

A resposta final é $- 64$ .

$y = - 64$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $t = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$30 {(- 2)}^{4} - 144 {(- 2)}^{2} + 96$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$30 \cdot 16 - 144 {(- 2)}^{2} + 96$

Etapa 14.1.2

Multiplique $30$ por $16$ .

$480 - 144 {(- 2)}^{2} + 96$

Etapa 14.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$480 - 144 \cdot 4 + 96$

Etapa 14.1.4

Multiplique $- 144$ por $4$ .

$480 - 576 + 96$

Etapa 14.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Subtraia $576$ de $480$ .

$- 96 + 96$

Etapa 14.2.2

Some $- 96$ e $96$ .

$0$

Etapa 15

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $t$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 15.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 2)$ na primeira derivada $6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Substitua a variável $t$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = 6 (- 4) {({(- 4)}^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Multiplique $6$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = - 24 {({(- 4)}^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.2.2

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = - 24 {(16 - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.2.3

Subtraia $4$ de $16$ .

$f' (- 4) = - 24 \cdot 12^{2}$

Etapa 15.2.2.4

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = - 24 \cdot 144$

Etapa 15.2.2.5

Multiplique $- 24$ por $144$ .

$f' (- 4) = - 3456$

Etapa 15.2.2.6

A resposta final é $- 3456$ .

$- 3456$

Etapa 15.3

Substitua qualquer número, como $- 1$ , do intervalo $(- 2, 0)$ na primeira derivada $6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.1

Substitua a variável $t$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = 6 (- 1) {({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 15.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.1

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 6 {({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 15.3.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = - 6 {(1 - 4)}^{2}$

Etapa 15.3.2.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$f' (- 1) = - 6 {(- 3)}^{2}$

Etapa 15.3.2.4

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = - 6 \cdot 9$

Etapa 15.3.2.5

Multiplique $- 6$ por $9$ .

$f' (- 1) = - 54$

Etapa 15.3.2.6

A resposta final é $- 54$ .

$- 54$

Etapa 15.4

Substitua qualquer número, como $1$ , do intervalo $(0, 2)$ na primeira derivada $6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.1

Substitua a variável $t$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 6 (1) {({(1)}^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 15.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$f' (1) = 6 {({(1)}^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 15.4.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 6 {(1 - 4)}^{2}$

Etapa 15.4.2.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$f' (1) = 6 {(- 3)}^{2}$

Etapa 15.4.2.4

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (1) = 6 \cdot 9$

Etapa 15.4.2.5

Multiplique $6$ por $9$ .

$f' (1) = 54$

Etapa 15.4.2.6

A resposta final é $54$ .

$54$

Etapa 15.5

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(2, \infty)$ na primeira derivada $6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.5.1

Substitua a variável $t$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 6 (4) {({(4)}^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 15.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.5.2.1

Multiplique $6$ por $4$ .

$f' (4) = 24 {({(4)}^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 15.5.2.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = 24 {(16 - 4)}^{2}$

Etapa 15.5.2.3

Subtraia $4$ de $16$ .

$f' (4) = 24 \cdot 12^{2}$

Etapa 15.5.2.4

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$f' (4) = 24 \cdot 144$

Etapa 15.5.2.5

Multiplique $24$ por $144$ .

$f' (4) = 3456$

Etapa 15.5.2.6

A resposta final é $3456$ .

$3456$

Etapa 15.6

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $t = - 2$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 15.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $t = 0$ , então $t = 0$ é um mínimo local.

$t = 0$ é um mínimo local

Etapa 15.8

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $t = 2$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 15.9

Esses são os extremos locais para $f (t) = {(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t = 0$ é um mínimo local

Etapa 16