Cálculo Exemplos

$\frac{x - 1}{x^{2} + 5 x + 10}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x - 1}{x^{2} + 5 x + 10}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 5 x + 10}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x^{2} + 5 x + 10$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $x^{2} + 5 x + 10$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5 x + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.2.7

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.2.9

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.2.10

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 + 0)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.2.11

Some $2 x + 5$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 + (- x - - 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 + (- x + 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.2

Expanda $(- x + 1) (2 x + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x + 5) + 1 (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x) - x \cdot 5 + 1 (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x) - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.2.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.3.1.4

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.3.1.5

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 2 x + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.3.1.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 2 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Some $- 5 x$ e $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 3 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5 x + 10 - 3 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.3

Subtraia $3 x$ de $5 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x + 10 + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.4

Some $10$ e $5$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.3.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ e cuja soma é $b = 2$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2

Reescreva $2$ como $- 3$ mais $5$

$\frac{- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} - 3 x + 5 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.3.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 3) - 5 (- x - 3)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 3$ .

$\frac{(- x - 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.5

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (3)) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.7

Reescreva $- (x + 3)$ como $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{- 1 (x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 2.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.2

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 3) (x - 5)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{({(x^{2} + 5 x + 10)}^{2})}^{2}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 5 x + 10)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 3) (x - 5)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2 \cdot 2}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 3) (x - 5)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 3$ e $g (x) = x - 5$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) \frac{d}{d x} (x - 5) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.4.2

Multiplique $x + 3$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (3))) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) (1 + 0)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) \cdot 1) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.8.2

Multiplique $x - 5$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + x - 5) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.8.3

Some $x$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x + 3 - 5) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.8.4

Subtraia $5$ de $3$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 5 x + 10$ .

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Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 5 x + 10$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - (x + 3) (x - 5) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 5 x + 10$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - (x + 3) (x - 5) (2 (x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.7

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) ((x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.7.2

Fatore $x^{2} + 5 x + 10$ de ${(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) ((x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Fatore $x^{2} + 5 x + 10$ de ${(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2)) - 2 (x + 3) (x - 5) ((x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.7.2.2

Fatore $x^{2} + 5 x + 10$ de $- 2 (x + 3) (x - 5) ((x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10])$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2)) + (x^{2} + 5 x + 10) (- 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10)))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.7.2.3

Fatore $x^{2} + 5 x + 10$ de $(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2)) + (x^{2} + 5 x + 10) (- 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]))$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10)))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.8

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.8.1

Fatore $x^{2} + 5 x + 10$ de ${(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10)))}{(x^{2} + 5 x + 10) {(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.8.2

Cancele o fator comum.

Etapa 3.8.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5 x + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.11

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.13

Multiplique $5$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5 + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.14

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5 + 0)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.15

Some $2 x + 5$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.16

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot 0$

Etapa 3.17

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.17.1

Multiplique $\frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$ por $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + 0$

Etapa 3.17.2

Some $- \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18

Simplifique.

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Etapa 3.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.18.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.18.2.1.1

Expanda $(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.18.2.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.18.2.1.2.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.2.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.18.2.1.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.2.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.2.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 \cdot x^{2} + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 \cdot (2 x \cdot x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.2.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.18.2.1.2.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 \cdot (2 (x \cdot x)) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.2.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 \cdot (2 x^{2}) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.2.6

Multiplique $5$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x^{2} + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.2.7

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x^{2} - 10 x + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.2.8

Multiplique $2$ por $10$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x^{2} - 10 x + 20 x + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.2.9

Multiplique $10$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x^{2} - 10 x + 20 x - 20 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.3

Some $- 2 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x + 20 x - 20 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.4

Some $- 10 x$ e $20 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x - 6) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.6

Expanda $(- 2 x - 6) (x - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.18.2.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x (x - 5) - 6 (x - 5)) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 5 - 6 (x - 5)) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.18.2.1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.18.2.1.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.18.2.1.7.1.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.7.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.7.1.2

Multiplique $- 5$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x^{2} + 10 x - 6 x - 6 \cdot - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.7.1.3

Multiplique $- 6$ por $- 5$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x^{2} + 10 x - 6 x + 30) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.7.2

Subtraia $6 x$ de $10 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x^{2} + 4 x + 30) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.8

Expanda $(- 2 x^{2} + 4 x + 30) (2 x + 5)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 x^{2} (2 x) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.18.2.1.9.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 x^{2} x) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.9.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.18.2.1.9.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.9.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.18.2.1.9.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.9.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 x^{1 + 2}) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.9.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 x^{3}) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.9.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.9.4

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.9.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 \cdot (2 x \cdot x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.9.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.18.2.1.9.6.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 \cdot (2 (x \cdot x)) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.9.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 \cdot (2 x^{2}) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.9.7

Multiplique $4$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x^{2} + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.9.8

Multiplique $5$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x^{2} + 20 x + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.9.9

Multiplique $2$ por $30$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x^{2} + 20 x + 60 x + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.9.10

Multiplique $30$ por $5$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x^{2} + 20 x + 60 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.10

Some $- 10 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 20 x + 60 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.1.11

Some $20 x$ e $60 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 80 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.2

Subtraia $4 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 x^{2} + 80 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.3

Subtraia $2 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 10 x - 20 + 80 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.4

Some $10 x$ e $80 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 90 x - 20 + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.5

Some $- 20$ e $150$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 90 x + 130}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.3

Fatore $2$ de $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 90 x + 130$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.18.3.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 6 x^{2} + 90 x + 130}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.3.2

Fatore $2$ de $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 90 x + 130}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.3.3

Fatore $2$ de $90 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (45 x) + 130}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.3.4

Fatore $2$ de $130$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 (65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.3.5

Fatore $2$ de $2 (- x^{3}) + 2 (3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 (65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.3.6

Fatore $2$ de $2 (- x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (45 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} + 3 x^{2} + 45 x) + 2 (65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.3.7

Fatore $2$ de $2 (- x^{3} + 3 x^{2} + 45 x) + 2 (65)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} + 3 x^{2} + 45 x + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.4

Fatore $- 1$ de $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) + 3 x^{2} + 45 x + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.5

Fatore $- 1$ de $3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - (- 3 x^{2}) + 45 x + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{3}) - (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2}) + 45 x + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.7

Fatore $- 1$ de $45 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 45 x) + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.8

Fatore $- 1$ de $- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 45 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x) + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.9

Reescreva $65$ como $- 1 (- 65)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x) - 1 \cdot - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.10

Fatore $- 1$ de $- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x) - 1 (- 65)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.11

Reescreva $- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)$ como $- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 3.18.13

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}})$

Etapa 3.18.14

Multiplique $\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.2

Diferencie.

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Etapa 5.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.4.2

Multiplique $x^{2} + 5 x + 10$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5 x + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.7

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.9

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.10

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 + 0)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.11

Some $2 x + 5$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

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Etapa 5.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 + (- x - - 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 + (- x + 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.1.2

Expanda $(- x + 1) (2 x + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x + 5) + 1 (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x) - x \cdot 5 + 1 (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x) - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.1.3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.3.2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.3.2.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.1.3.1.4

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.1.3.1.5

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 2 x + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.1.3.1.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 2 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.1.3.2

Some $- 5 x$ e $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 3 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.2

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5 x + 10 - 3 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.3

Subtraia $3 x$ de $5 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x + 10 + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.4

Some $10$ e $5$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.1.3.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ e cuja soma é $b = 2$ .

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Etapa 5.1.3.3.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.2

Reescreva $2$ como $- 3$ mais $5$

$\frac{- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} - 3 x + 5 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.1.3.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 3) - 5 (- x - 3)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 3$ .

$\frac{(- x - 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.5

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (3)) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.7

Reescreva $- (x + 3)$ como $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{- 1 (x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$ .

$- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$(x + 3) (x - 5) = 0$

Etapa 6.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 6.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 6.3.2

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.3.2.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 6.3.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 6.3.3

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.3.3.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 6.3.3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 6.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 3) (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 5$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 3, 5$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{2 ({(- 3)}^{3} - 3 {(- 3)}^{2} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Multiplique $- 3$ por ${(- 3)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Multiplique $- 3$ por ${(- 3)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $1$ .

$\frac{2 ({(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{1} {(- 3)}^{2} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Etapa 10.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 ({(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{1 + 2} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Etapa 10.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 ({(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{3} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Etapa 10.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$\frac{2 (- 27 + {(- 3)}^{3} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Etapa 10.2.2

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$\frac{2 (- 27 - 27 - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Etapa 10.2.3

Multiplique $- 45$ por $- 3$ .

$\frac{2 (- 27 - 27 + 135 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Etapa 10.2.4

Subtraia $27$ de $- 27$ .

$\frac{2 (- 54 + 135 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Etapa 10.2.5

Some $- 54$ e $135$ .

$\frac{2 (81 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Etapa 10.2.6

Subtraia $65$ de $81$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Etapa 10.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{(9 + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Etapa 10.3.2

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{(9 - 15 + 10)}^{3}}$

Etapa 10.3.3

Subtraia $15$ de $9$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{(- 6 + 10)}^{3}}$

Etapa 10.3.4

Some $- 6$ e $10$ .

$\frac{2 \cdot 16}{4^{3}}$

Etapa 10.3.5

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{2 \cdot 16}{64}$

Etapa 10.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Multiplique $2$ por $16$ .

$\frac{32}{64}$

Etapa 10.4.2

Cancele o fator comum de $32$ e $64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1

Fatore $32$ de $32$ .

$\frac{32 (1)}{64}$

Etapa 10.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.2.1

Fatore $32$ de $64$ .

$\frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 2}$

Etapa 10.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 2}$

Etapa 10.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2}$

Etapa 11

$x = - 3$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 3$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = \frac{(- 3) - 1}{{(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Subtraia $1$ de $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{{(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10}$

Etapa 12.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{9 + 5 (- 3) + 10}$

Etapa 12.2.2.2

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{9 - 15 + 10}$

Etapa 12.2.2.3

Subtraia $15$ de $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{- 6 + 10}$

Etapa 12.2.2.4

Some $- 6$ e $10$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{4}$

Etapa 12.2.3

Divida $- 4$ por $4$ .

$f (- 3) = - 1$

Etapa 12.2.4

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{2 ({(5)}^{3} - 3 {(5)}^{2} - 45 \cdot 5 - 65)}{{({(5)}^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$\frac{2 (125 - 3 \cdot 5^{2} - 45 \cdot 5 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Etapa 14.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{2 (125 - 3 \cdot 25 - 45 \cdot 5 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Etapa 14.1.3

Multiplique $- 3$ por $25$ .

$\frac{2 (125 - 75 - 45 \cdot 5 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Etapa 14.1.4

Multiplique $- 45$ por $5$ .

$\frac{2 (125 - 75 - 225 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Etapa 14.1.5

Subtraia $75$ de $125$ .

$\frac{2 (50 - 225 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Etapa 14.1.6

Subtraia $225$ de $50$ .

$\frac{2 (- 175 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Etapa 14.1.7

Subtraia $65$ de $- 175$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Etapa 14.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{{(25 + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Etapa 14.2.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{{(25 + 25 + 10)}^{3}}$

Etapa 14.2.3

Some $25$ e $25$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{{(50 + 10)}^{3}}$

Etapa 14.2.4

Some $50$ e $10$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{60^{3}}$

Etapa 14.2.5

Eleve $60$ à potência de $3$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{216000}$

Etapa 14.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Multiplique $2$ por $- 240$ .

$\frac{- 480}{216000}$

Etapa 14.3.2

Cancele o fator comum de $- 480$ e $216000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1

Fatore $480$ de $- 480$ .

$\frac{480 (- 1)}{216000}$

Etapa 14.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.2.1

Fatore $480$ de $216000$ .

$\frac{480 \cdot - 1}{480 \cdot 450}$

Etapa 14.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{480 \cdot - 1}{480 \cdot 450}$

Etapa 14.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{450}$

Etapa 14.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{450}$

Etapa 15

$x = 5$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 5$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = \frac{(5) - 1}{{(5)}^{2} + 5 (5) + 10}$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Subtraia $1$ de $5$ .

$f (5) = \frac{4}{5^{2} + 5 (5) + 10}$

Etapa 16.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = \frac{4}{25 + 5 (5) + 10}$

Etapa 16.2.2.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$f (5) = \frac{4}{25 + 25 + 10}$

Etapa 16.2.2.3

Some $25$ e $25$ .

$f (5) = \frac{4}{50 + 10}$

Etapa 16.2.2.4

Some $50$ e $10$ .

$f (5) = \frac{4}{60}$

Etapa 16.2.3

Cancele o fator comum de $4$ e $60$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$f (5) = \frac{4 (1)}{60}$

Etapa 16.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.3.2.1

Fatore $4$ de $60$ .

$f (5) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 15}$

Etapa 16.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (5) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 15}$

Etapa 16.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (5) = \frac{1}{15}$

Etapa 16.2.4

A resposta final é $\frac{1}{15}$ .

$y = \frac{1}{15}$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 5 x + 10}$ .

$(- 3, - 1)$ é um mínimo local

$(5, \frac{1}{15})$ é um máximo local

Etapa 18