Cálculo Exemplos

$2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Etapa 1

Escreva $2 \sin (x) + \cos (2 x)$ como uma função.

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \sin (x) + \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$2 \cos (x) - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) \cdot 2$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \cos (x) - 2 \sin (2 x)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \cos (x) - 2 \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 3.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 3.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Etapa 3.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Etapa 3.3.7

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 4 \cos (2 x)$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 \cos (x) - 2 \sin (2 x) = 0$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \cos (x) - 2 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$2 \cos (x) - 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Etapa 6

Fatore $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x) - 4 \sin (x) \cos (x)$ .

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Etapa 6.1

Fatore $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 - 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Etapa 6.2

Fatore $2 \cos (x)$ de $- 4 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) = 0$

Etapa 6.3

Fatore $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ .

$2 \cos (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 8

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 8.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 8.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 8.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 8.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 8.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 8.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 8.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 8.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 8.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 8.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 8.2.5

A solução para a equação $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Etapa 9

Defina $1 - 2 \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.1

Defina $1 - 2 \sin (x)$ como igual a $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 9.2

Resolva $1 - 2 \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 9.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Etapa 9.2.2

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 9.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 9.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 9.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 9.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 9.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 9.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 9.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 9.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 9.2.6

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 9.2.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 9.2.6.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 9.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 9.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.6.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 9.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 9.2.7

A solução para a equação $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $2 \cos (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \sin (\frac{π}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 2 \cdot 1 - 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Etapa 12.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 - 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Etapa 12.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1

Cancele o fator comum.

$- 2 - 4 \cos (2 \frac{π}{2})$

Etapa 12.1.3.2

Reescreva a expressão.

$- 2 - 4 \cos (π)$

Etapa 12.1.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 2 - 4 (- \cos (0))$

Etapa 12.1.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 2 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 12.1.6

Multiplique $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 - 4 \cdot - 1$

Etapa 12.1.6.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$- 2 + 4$

Etapa 12.2

Some $- 2$ e $4$ .

$2$

Etapa 13

$x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local

Etapa 14

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 14.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Etapa 14.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Etapa 14.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Etapa 14.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Etapa 14.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (π)$

Etapa 14.2.1.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (0)$

Etapa 14.2.1.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 1 \cdot 1$

Etapa 14.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 1$

Etapa 14.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Etapa 14.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2})) - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Etapa 16.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1) - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Etapa 16.1.3

Multiplique $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 \cdot - 1 - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Etapa 16.1.3.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Etapa 16.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.4.1

Cancele o fator comum.

$2 - 4 \cos (2 \frac{3 π}{2})$

Etapa 16.1.4.2

Reescreva a expressão.

$2 - 4 \cos (3 π)$

Etapa 16.1.5

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$2 - 4 \cos (π)$

Etapa 16.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$2 - 4 (- \cos (0))$

Etapa 16.1.7

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 16.1.8

Multiplique $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 - 4 \cdot - 1$

Etapa 16.1.8.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$2 + 4$

Etapa 16.2

Some $2$ e $4$ .

$6$

Etapa 17

$x = \frac{3 π}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{2}$ é um mínimo local

Etapa 18

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Etapa 18.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Etapa 18.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1) + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Etapa 18.2.1.3

Multiplique $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1 + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Etapa 18.2.1.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Etapa 18.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Etapa 18.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (3 π)$

Etapa 18.2.1.5

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (π)$

Etapa 18.2.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (0)$

Etapa 18.2.1.7

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - 1 \cdot 1$

Etapa 18.2.1.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - 1$

Etapa 18.2.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3$

Etapa 18.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$y = - 3$

Etapa 19

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \sin (\frac{π}{6}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 20

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 20.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 20.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 20.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- 1 - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 20.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1.3.1

Fatore $2$ de $6$ .

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

Etapa 20.1.3.2

Cancele o fator comum.

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Etapa 20.1.3.3

Reescreva a expressão.

$- 1 - 4 \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 20.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - 4 (\frac{1}{2})$

Etapa 20.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1.5.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$- 1 + 2 (- 2) \frac{1}{2}$

Etapa 20.1.5.2

Cancele o fator comum.

$- 1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2}$

Etapa 20.1.5.3

Reescreva a expressão.

$- 1 - 2$

Etapa 20.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$- 3$

Etapa 21

$x = \frac{π}{6}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{6}$ é um máximo local

Etapa 22

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 22.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 22.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 22.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 22.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.1.3.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Etapa 22.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Etapa 22.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 22.2.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \frac{1}{2}$

Etapa 22.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 22.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 + 1}{2}$

Etapa 22.2.2.3

Some $2$ e $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}$

Etapa 22.2.3

A resposta final é $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Etapa 23

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5 π}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \sin (\frac{5 π}{6}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 24

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 2 \sin (\frac{π}{6}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 24.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 24.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 24.1.3.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 24.1.3.3

Reescreva a expressão.

$- 1 - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 24.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Etapa 24.1.4.2

Cancele o fator comum.

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Etapa 24.1.4.3

Reescreva a expressão.

$- 1 - 4 \cos (\frac{5 π}{3})$

Etapa 24.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 1 - 4 \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 24.1.6

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - 4 (\frac{1}{2})$

Etapa 24.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1.7.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$- 1 + 2 (- 2) \frac{1}{2}$

Etapa 24.1.7.2

Cancele o fator comum.

$- 1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2}$

Etapa 24.1.7.3

Reescreva a expressão.

$- 1 - 2$

Etapa 24.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$- 3$

Etapa 25

$x = \frac{5 π}{6}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{6}$ é um máximo local

Etapa 26

Encontre o valor y quando $x = \frac{5 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \sin (\frac{5 π}{6}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 26.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 26.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 26.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 26.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 26.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.2.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Etapa 26.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Etapa 26.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (\frac{5 π}{3})$

Etapa 26.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 26.2.1.6

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \frac{1}{2}$

Etapa 26.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.2.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 26.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{2 + 1}{2}$

Etapa 26.2.2.3

Some $2$ e $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{3}{2}$

Etapa 26.2.3

A resposta final é $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Etapa 27

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{2}, 1)$ é um mínimo local

$(\frac{3 π}{2}, - 3)$ é um mínimo local

$(\frac{π}{6}, \frac{3}{2})$ é um máximo local

$(\frac{5 π}{6}, \frac{3}{2})$ é um máximo local

Etapa 28