Cálculo Exemplos

$\frac{x}{{(7 x - 9)}^{9}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(7 x - 9)}^{9}$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 9)}^{9}]}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 9)}^{9}]}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{9}$ e $g (x) = 7 x - 9$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x - 9$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [7 x - 9])}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 u^{8} \frac{d}{d x} [7 x - 9])}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x - 9$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} \frac{d}{d x} [7 x - 9])}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Etapa 4.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Etapa 4.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} (7 + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Etapa 4.5

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} (7 + 0))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.1

Some $7$ e $0$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} \cdot 7)}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $7$ por $9$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (63 {(7 x - 9)}^{8})}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Fatore ${(7 x - 9)}^{8}$ de ${(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (63 {(7 x - 9)}^{8})$ .

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Etapa 5.1.1.1

Fatore ${(7 x - 9)}^{8}$ de ${(7 x - 9)}^{9} \cdot 1$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} ((7 x - 9) \cdot 1) - x (63 {(7 x - 9)}^{8})}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Etapa 5.1.1.2

Fatore ${(7 x - 9)}^{8}$ de $- x (63 {(7 x - 9)}^{8})$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} ((7 x - 9) \cdot 1) + {(7 x - 9)}^{8} (- x \cdot (63))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Etapa 5.1.1.3

Fatore ${(7 x - 9)}^{8}$ de ${(7 x - 9)}^{8} ((7 x - 9) \cdot 1) + {(7 x - 9)}^{8} (- x \cdot (63))$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} ((7 x - 9) \cdot 1 - x \cdot (63))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $7 x - 9$ por $1$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (7 x - 9 - x \cdot (63))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Etapa 5.1.3

Multiplique $63$ por $- 1$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (7 x - 9 - 63 x)}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Etapa 5.1.4

Subtraia $63 x$ de $7 x$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (- 56 x - 9)}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(7 x - 9)}^{9})}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (- 56 x - 9)}{{(7 x - 9)}^{9 \cdot 2}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $9$ por $2$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (- 56 x - 9)}{{(7 x - 9)}^{18}}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.1

Fatore ${(7 x - 9)}^{8}$ de ${(7 x - 9)}^{18}$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (- 56 x - 9)}{{(7 x - 9)}^{8} {(7 x - 9)}^{10}}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (- 56 x - 9)}{{(7 x - 9)}^{8} {(7 x - 9)}^{10}}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 56 x - 9}{{(7 x - 9)}^{10}}$

Etapa 5.3

Fatore $- 1$ de $- 56 x$ .

$\frac{- (56 x) - 9}{{(7 x - 9)}^{10}}$

Etapa 5.4

Reescreva $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$\frac{- (56 x) - 1 (9)}{{(7 x - 9)}^{10}}$

Etapa 5.5

Fatore $- 1$ de $- (56 x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (56 x + 9)}{{(7 x - 9)}^{10}}$

Etapa 5.6

Reescreva $- (56 x + 9)$ como $- 1 (56 x + 9)$ .

$\frac{- 1 (56 x + 9)}{{(7 x - 9)}^{10}}$

Etapa 5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{56 x + 9}{{(7 x - 9)}^{10}}$