Cálculo Exemplos

$- \frac{5 y}{5 x + 2 y}$

Etapa 1

Não foi possível concluir esta derivada usando a regra do quociente. O Mathway usará outro método.

Etapa 2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1

Como $- 5 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5 y}{5 x + 2 y}$ em relação a $x$ é $- 5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2 y}]$ .

$- 5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2 y}]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{5 x + 2 y}$ como ${(5 x + 2 y)}^{- 1}$ .

$- 5 y \frac{d}{d x} [{(5 x + 2 y)}^{- 1}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 5 x + 2 y$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x + 2 y$ .

$- 5 y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 5 y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x + 2 y$ .

$- 5 y (- {(5 x + 2 y)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 2 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Etapa 4.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Etapa 4.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Etapa 4.6

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 + 0))$

Etapa 4.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.7.1

Some $5$ e $0$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} \cdot 5)$

Etapa 4.7.2

Mova $5$ para a esquerda de ${(5 x + 2 y)}^{- 2}$ .

$5 y (5 \cdot {(5 x + 2 y)}^{- 2})$

Etapa 4.7.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$25 y {(5 x + 2 y)}^{- 2}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$25 y \frac{1}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Combine $25$ e $\frac{1}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$ .

$y \frac{25}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Combine $y$ e $\frac{25}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$ .

$\frac{y \cdot 25}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$

Etapa 5.2.3

Mova $25$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{25 y}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$