Cálculo Exemplos

$\frac{3 x e^{x^{2}} + 8}{y}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x e^{x^{2}} + 8$ e $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}} + 8] - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x e^{x^{2}} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{y (\frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}}]$ .

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Etapa 3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x e^{x^{2}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$\frac{y (3 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$\frac{y (3 (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{y (3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{y (3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{y (3 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{y (3 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y (3 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{y (3 (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{y (3 (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y (3 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 3.9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{y (3 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 3.10

Mova $2$ para a esquerda de $e^{x^{2}}$ .

$\frac{y (3 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 3.11

Multiplique $e^{x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{y (3 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 4

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{y (3 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + 0) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y (3 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 3 e^{x^{2}} + 0) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{y (6 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 3 e^{x^{2}} + 0) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 5.2.2

Some $6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$\frac{y (6 e^{x^{2}} x^{2} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 5.4

Reordene os fatores em $6 e^{x^{2}} x^{2} + 3 e^{x^{2}}$ .

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 6

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \cdot 0}{y^{2}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}}) + y (3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \cdot 0}{y^{2}}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}}) + y (3 e^{x^{2}}) + (- (3 x e^{x^{2}}) - 1 \cdot 8) \cdot 0}{y^{2}}$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}}) + y (3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Etapa 7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + y (3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Etapa 7.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Etapa 7.4.1.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} - 3 (x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Etapa 7.4.1.4

Multiplique $- 3 x e^{x^{2}} \cdot 0$ .

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Etapa 7.4.1.4.1

Multiplique $0$ por $- 3$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 x e^{x^{2}} - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Etapa 7.4.1.4.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 e^{x^{2}} - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Etapa 7.4.1.4.3

Multiplique $0$ por $e^{x^{2}}$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Etapa 7.4.1.5

Multiplique $- 1 \cdot 8 \cdot 0$ .

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Etapa 7.4.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 - 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Etapa 7.4.1.5.2

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 + 0}{y^{2}}$

Etapa 7.4.2

Combine os termos opostos em $6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 + 0$ .

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Etapa 7.4.2.1

Some $6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0}{y^{2}}$

Etapa 7.4.2.2

Some $6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}}}{y^{2}}$

Etapa 7.5

Reordene os termos.

$\frac{6 e^{x^{2}} x^{2} y + 3 e^{x^{2}} y}{y^{2}}$

Etapa 7.6

Fatore $3 e^{x^{2}} y$ de $6 e^{x^{2}} x^{2} y + 3 e^{x^{2}} y$ .

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Etapa 7.6.1

Fatore $3 e^{x^{2}} y$ de $6 e^{x^{2}} x^{2} y$ .

$\frac{3 e^{x^{2}} y (2 x^{2}) + 3 e^{x^{2}} y}{y^{2}}$

Etapa 7.6.2

Fatore $3 e^{x^{2}} y$ de $3 e^{x^{2}} y$ .

$\frac{3 e^{x^{2}} y (2 x^{2}) + 3 e^{x^{2}} y (1)}{y^{2}}$

Etapa 7.6.3

Fatore $3 e^{x^{2}} y$ de $3 e^{x^{2}} y (2 x^{2}) + 3 e^{x^{2}} y (1)$ .

$\frac{3 e^{x^{2}} y (2 x^{2} + 1)}{y^{2}}$

Etapa 7.7

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

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Etapa 7.7.1

Fatore $y$ de $3 e^{x^{2}} y (2 x^{2} + 1)$ .

$\frac{y (3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1))}{y^{2}}$

Etapa 7.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.7.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y (3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1))}{y \cdot y}$

Etapa 7.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y (3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1))}{y \cdot y}$

Etapa 7.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1)}{y}$