Cálculo Exemplos

$\frac{a x + b}{a^{2} x^{2} + b^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d b} [\frac{f (b)}{g (b)}]$ é $\frac{g (b) \frac{d}{d b} [f (b)] - f (b) \frac{d}{d b} [g (b)]}{{g (b)}^{2}}$ , em que $f (b) = a x + b$ e $g (b) = a^{2} x^{2} + b^{2}$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d b} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a x + b$ com relação a $b$ é $\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [b]$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) (\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $a x$ é constante em relação a $b$ , a derivada de $a x$ em relação a $b$ é $0$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) (0 + \frac{d}{d b} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ é $n b^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) (0 + 1) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 2.4

Some $0$ e $1$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a^{2} x^{2} + b^{2}$ com relação a $b$ é $\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2}] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2}] + \frac{d}{d b} [b^{2}])}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6

Como $a^{2} x^{2}$ é constante em relação a $b$ , a derivada de $a^{2} x^{2}$ em relação a $b$ é $0$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (0 + \frac{d}{d b} [b^{2}])}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ é $n b^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (0 + 2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8

Some $0$ e $2 b$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a^{2} x^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot 1 - (a x + b) (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a^{2} x^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot 1 + (- (a x) - b) (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a^{2} x^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot 1 - (a x) (2 b) - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1.1

Multiplique $a^{2}$ por $1$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} \cdot 1 - (a x) (2 b) - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $b^{2}$ por $1$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - (a x) (2 b) - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 1 \cdot 2 b \cdot b}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.5

Multiplique $b$ por $b$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1.5.1

Mova $b$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 1 \cdot 2 (b \cdot b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.5.2

Multiplique $b$ por $b$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 1 \cdot 2 b^{2}}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 2 b^{2}}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Subtraia $2 b^{2}$ de $b^{2}$ .

$\frac{a^{2} x^{2} - b^{2} - 2 a x b}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5

Reordene os termos.

$\frac{- b^{2} + a^{2} x^{2} - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.6

Fatore $- 1$ de $- b^{2}$ .

$\frac{- (b^{2}) + a^{2} x^{2} - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.7

Fatore $- 1$ de $a^{2} x^{2}$ .

$\frac{- (b^{2}) - (- a^{2} x^{2}) - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.8

Fatore $- 1$ de $- (b^{2}) - (- a^{2} x^{2})$ .

$\frac{- (b^{2} - a^{2} x^{2}) - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.9

Fatore $- 1$ de $- 2 a b x$ .

$\frac{- (b^{2} - a^{2} x^{2}) - (2 a b x)}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.10

Fatore $- 1$ de $- (b^{2} - a^{2} x^{2}) - (2 a b x)$ .

$\frac{- (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.11

Reescreva $- (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)$ como $- 1 (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)$ .

$\frac{- 1 (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$