Cálculo Exemplos

$y = \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 8 x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [8 x^{\frac{3}{2}}] - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{\frac{3}{2}}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{x (8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 7

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (8 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 8

Combine $8$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x \frac{8 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 9

Multiplique $3$ por $8$ .

$\frac{x \frac{24 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 10

Fatore $2$ de $24 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 11

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 11.4

Divida $12 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x (12 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (12 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{12 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 13.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 13.1.1.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} x) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 13.1.1.2.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 13.1.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 13.1.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{12 x^{\frac{1}{2} + 1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 13.1.1.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{12 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 13.1.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{12 x^{\frac{1 + 2}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 13.1.1.2.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 13.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 13.1.1.4

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 8 x^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Etapa 13.1.2

Subtraia $8 x^{\frac{3}{2}}$ de $12 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Etapa 13.2

Combine os termos.

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Etapa 13.2.1

Mova $x^{\frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{4}{x^{2} x^{- \frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- \frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 13.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4}{x^{2 - \frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.2.3

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 3}{2}}}$

Etapa 13.2.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.2.2.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{x^{\frac{4 - 3}{2}}}$

Etapa 13.2.2.5.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$