Cálculo Exemplos

$y = \frac{4 x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{5} - 4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2}$ e $g (x) = 4 x^{5} - 4$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2}] - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 3 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 3 (2 x)) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{5} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 6

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ .

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Etapa 6.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{5}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 6.3

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 7.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (20 x^{4} + 0)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 7.2

Some $20 x^{4}$ e $0$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) + (- (4 x^{3}) - (- 3 x^{2})) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Expanda $(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 8.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{5} (12 x^{2} - 6 x) - 4 (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{5} (12 x^{2}) + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{5} (12 x^{2}) + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 \cdot 12 x^{5} x^{2} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Multiplique $x^{5}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.3.1.2.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot 12 (x^{2} x^{5}) + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 \cdot 12 x^{2 + 5} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.2.3

Some $2$ e $5$ .

$\frac{4 \cdot 12 x^{7} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.3

Multiplique $4$ por $12$ .

$\frac{48 x^{7} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 x^{5} x - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.5

Multiplique $x^{5}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 8.3.1.2.5.1

Mova $x$ .

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 (x \cdot x^{5}) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.5.2

Multiplique $x$ por $x^{5}$ .

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Etapa 8.3.1.2.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 (x^{1} x^{5}) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 x^{1 + 5} - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.5.3

Some $1$ e $5$ .

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 x^{6} - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.6

Multiplique $4$ por $- 6$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.7

Multiplique $12$ por $- 4$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.8

Multiplique $- 6$ por $- 4$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.3

Multiplique $x^{3}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.3.1.3.1

Mova $x^{4}$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - (4 (x^{4} x^{3})) \cdot 20 - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - (4 x^{4 + 3}) \cdot 20 - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.3.3

Some $4$ e $3$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - (4 x^{7}) \cdot 20 - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 4 x^{7} \cdot 20 - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.5

Multiplique $20$ por $- 4$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.6

Multiplique $x^{2}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.3.1.6.1

Mova $x^{4}$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - (- 3 (x^{4} x^{2})) \cdot 20}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - (- 3 x^{4 + 2}) \cdot 20}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.6.3

Some $4$ e $2$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - (- 3 x^{6}) \cdot 20}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.7

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} + 3 x^{6} \cdot 20}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.8

Multiplique $20$ por $3$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} + 60 x^{6}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.2

Subtraia $80 x^{7}$ de $48 x^{7}$ .

$\frac{- 32 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x + 60 x^{6}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.3.3

Some $- 24 x^{6}$ e $60 x^{6}$ .

$\frac{- 32 x^{7} + 36 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.4

Fatore $4 x$ de $- 32 x^{7} + 36 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x$ .

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Etapa 8.4.1

Fatore $4 x$ de $- 32 x^{7}$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 36 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.4.2

Fatore $4 x$ de $36 x^{6}$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5}) - 48 x^{2} + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.4.3

Fatore $4 x$ de $- 48 x^{2}$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5}) + 4 x (- 12 x) + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.4.4

Fatore $4 x$ de $24 x$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5}) + 4 x (- 12 x) + 4 x (6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.4.5

Fatore $4 x$ de $4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5})$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5}) + 4 x (- 12 x) + 4 x (6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.4.6

Fatore $4 x$ de $4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5}) + 4 x (- 12 x)$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x) + 4 x (6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.4.7

Fatore $4 x$ de $4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x) + 4 x (6)$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.5.1

Fatore $4$ de $4 x^{5} - 4$ .

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Etapa 8.5.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{5}$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 (x^{5}) - 4)}^{2}}$

Etapa 8.5.1.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 (x^{5}) + 4 (- 1))}^{2}}$

Etapa 8.5.1.3

Fatore $4$ de $4 (x^{5}) + 4 (- 1)$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 (x^{5} - 1))}^{2}}$

Etapa 8.5.2

Aplique a regra do produto a $4 (x^{5} - 1)$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{4^{2} {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Etapa 8.5.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{16 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Etapa 8.6

Cancele o fator comum de $4$ e $16$ .

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Etapa 8.6.1

Fatore $4$ de $4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)$ .

$\frac{4 (x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6))}{16 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Etapa 8.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.6.2.1

Fatore $4$ de $16 {(x^{5} - 1)}^{2}$ .

$\frac{4 (x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6))}{4 (4 {(x^{5} - 1)}^{2})}$

Etapa 8.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6))}{4 (4 {(x^{5} - 1)}^{2})}$

Etapa 8.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Etapa 8.7

Fatore $- 1$ de $- 8 x^{6}$ .

$\frac{x (- (8 x^{6}) + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Etapa 8.8

Fatore $- 1$ de $9 x^{5}$ .

$\frac{x (- (8 x^{6}) - (- 9 x^{5}) - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Etapa 8.9

Fatore $- 1$ de $- (8 x^{6}) - (- 9 x^{5})$ .

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5}) - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Etapa 8.10

Fatore $- 1$ de $- 12 x$ .

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5}) - (12 x) + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Etapa 8.11

Fatore $- 1$ de $- (8 x^{6} - 9 x^{5}) - (12 x)$ .

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x) + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Etapa 8.12

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x) - 1 (- 6))}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Etapa 8.13

Fatore $- 1$ de $- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6))}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Etapa 8.14

Reescreva $- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6)$ como $- 1 (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6)$ .

$\frac{x (- 1 (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6))}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Etapa 8.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$