Cálculo Exemplos

$y = \frac{7 x^{2} + 1}{x^{2} + 5}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 7 x^{2} + 1$ e $g (x) = x^{2} + 5$ .

$\frac{(x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 1] - (7 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (7 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Etapa 3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (7 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - (7 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (14 x + \frac{d}{d x} [1]) - (7 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (14 x + 0) - (7 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.2

Some $14 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (14 x) - (7 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (14 x) - (7 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (14 x) - (7 x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (14 x) - (7 x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.6

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (14 x) - (7 x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} (14 x) + 5 (14 x) - (7 x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} (14 x) + 5 (14 x) + (- (7 x^{2}) - 1 \cdot 1) (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} (14 x) + 5 (14 x) - (7 x^{2}) (2 x) - 1 \cdot 1 (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{14 x^{2} x + 5 (14 x) - (7 x^{2}) (2 x) - 1 \cdot 1 (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.4.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{14 (x \cdot x^{2}) + 5 (14 x) - (7 x^{2}) (2 x) - 1 \cdot 1 (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.4.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{14 (x^{1} x^{2}) + 5 (14 x) - (7 x^{2}) (2 x) - 1 \cdot 1 (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{14 x^{1 + 2} + 5 (14 x) - (7 x^{2}) (2 x) - 1 \cdot 1 (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{14 x^{3} + 5 (14 x) - (7 x^{2}) (2 x) - 1 \cdot 1 (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.3

Multiplique $14$ por $5$ .

$\frac{14 x^{3} + 70 x - (7 x^{2}) (2 x) - 1 \cdot 1 (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.4.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{14 x^{3} + 70 x - (7 (x \cdot x^{2})) \cdot 2 - 1 \cdot 1 (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.4.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{14 x^{3} + 70 x - (7 (x^{1} x^{2})) \cdot 2 - 1 \cdot 1 (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{14 x^{3} + 70 x - (7 x^{1 + 2}) \cdot 2 - 1 \cdot 1 (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{14 x^{3} + 70 x - (7 x^{3}) \cdot 2 - 1 \cdot 1 (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.5

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{14 x^{3} + 70 x - 7 x^{3} \cdot 2 - 1 \cdot 1 (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.6

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$\frac{14 x^{3} + 70 x - 14 x^{3} - 1 \cdot 1 (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{14 x^{3} + 70 x - 14 x^{3} - 1 (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{14 x^{3} + 70 x - 14 x^{3} - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Combine os termos opostos em $14 x^{3} + 70 x - 14 x^{3} - 2 x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Subtraia $14 x^{3}$ de $14 x^{3}$ .

$\frac{70 x + 0 - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.2.2

Some $70 x$ e $0$ .

$\frac{70 x - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.3

Subtraia $2 x$ de $70 x$ .

$\frac{68 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$