Cálculo Exemplos

$\frac{x + 8}{5 x^{2} e^{x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 8$ e $g (x) = 5 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x + 8] - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} (1 + 0) - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.4

Some $1$ e $0$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2} e^{x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} e^{x}) + 5 (e^{x} (2 x)))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} x)}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 e^{x} x^{2} + 10 e^{x} x)}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.4

Reordene os fatores em $5 e^{x} x^{2} + 10 e^{x} x$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Aplique a regra do produto a $5 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{{(5 x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.2

Aplique a regra do produto a $5 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} + (- x - 1 \cdot 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} + (- x - 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.3

Expanda $(- x - 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x (5 x^{2} e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x (5 x^{2} e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1.4.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1.4.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - (x^{2} x) (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.4.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1.4.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - (x^{2} x^{1}) (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.4.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x^{2 + 1} (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.4.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x^{3} (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 1 \cdot 5 x^{3} e^{x} - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.4.1.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.4.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1.4.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - (x \cdot x) (10 e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.4.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - x^{2} (10 e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.4.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 1 \cdot 10 x^{2} e^{x} - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.4.1.6

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 10 x^{2} e^{x} - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.4.1.7

Multiplique $5$ por $- 8$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 10 x^{2} e^{x} - 40 (x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.4.1.8

Multiplique $10$ por $- 8$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 10 x^{2} e^{x} - 40 x^{2} e^{x} - 80 x e^{x}}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.4.2

Subtraia $40 x^{2} e^{x}$ de $- 10 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 50 x^{2} e^{x} - 80 x e^{x}}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.2

Subtraia $50 x^{2} e^{x}$ de $5 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.5.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{2 \cdot 2} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.5.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{4} {(e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.5.3

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{4} e^{x \cdot 2}}$

Etapa 7.5.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{4} e^{2 x}}$

Etapa 7.6

Reordene os termos.

$\frac{- 45 e^{x} x^{2} - 5 e^{x} x^{3} - 80 e^{x} x}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Etapa 7.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.1

Fatore $5 e^{x} x$ de $- 45 e^{x} x^{2} - 5 e^{x} x^{3} - 80 e^{x} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.1.1

Fatore $5 e^{x} x$ de $- 45 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x) - 5 e^{x} x^{3} - 80 e^{x} x}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Etapa 7.7.1.2

Fatore $5 e^{x} x$ de $- 5 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x) + 5 e^{x} x (- x^{2}) - 80 e^{x} x}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Etapa 7.7.1.3

Fatore $5 e^{x} x$ de $- 80 e^{x} x$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x) + 5 e^{x} x (- x^{2}) + 5 e^{x} x (- 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Etapa 7.7.1.4

Fatore $5 e^{x} x$ de $5 e^{x} x (- 9 x) + 5 e^{x} x (- x^{2})$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x - x^{2}) + 5 e^{x} x (- 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Etapa 7.7.1.5

Fatore $5 e^{x} x$ de $5 e^{x} x (- 9 x - x^{2}) + 5 e^{x} x (- 16)$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x - x^{2} - 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Etapa 7.7.2

Reordene os termos.

$\frac{5 e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Etapa 7.8

Cancele o fator comum de $5$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1

Fatore $5$ de $5 e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)$ .

$\frac{5 (e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Etapa 7.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.2.1

Fatore $5$ de $25 e^{2 x} x^{4}$ .

$\frac{5 (e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 (5 e^{2 x} x^{4})}$

Etapa 7.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 (5 e^{2 x} x^{4})}$

Etapa 7.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)}{5 e^{2 x} x^{4}}$

Etapa 7.9

Cancele o fator comum de $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.9.1

Fatore $e^{2 x}$ de $e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 e^{2 x} x^{4}}$

Etapa 7.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.9.2.1

Fatore $e^{2 x}$ de $5 e^{2 x} x^{4}$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{e^{2 x} (5 x^{4})}$

Etapa 7.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{e^{2 x} (5 x^{4})}$

Etapa 7.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16)}{5 x^{4}}$

Etapa 7.10

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.10.1

Fatore $x$ de $e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16)$ .

$\frac{x (e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 x^{4}}$

Etapa 7.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.10.2.1

Fatore $x$ de $5 x^{4}$ .

$\frac{x (e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16))}{x (5 x^{3})}$

Etapa 7.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16))}{x (5 x^{3})}$

Etapa 7.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16)}{5 x^{3}}$

Etapa 7.11

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2}) - 9 x - 16)}{5 x^{3}}$

Etapa 7.12

Fatore $- 1$ de $- 9 x$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2}) - (9 x) - 16)}{5 x^{3}}$

Etapa 7.13

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (9 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2} + 9 x) - 16)}{5 x^{3}}$

Etapa 7.14

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2} + 9 x) - 1 (16))}{5 x^{3}}$

Etapa 7.15

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} + 9 x) - 1 (16)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2} + 9 x + 16))}{5 x^{3}}$

Etapa 7.16

Reescreva $- (x^{2} + 9 x + 16)$ como $- 1 (x^{2} + 9 x + 16)$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (x^{2} + 9 x + 16))}{5 x^{3}}$

Etapa 7.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{e^{- x} (x^{2} + 9 x + 16)}{5 x^{3}}$