Cálculo Exemplos

$p (t) = \frac{\sqrt{t}}{2 t - 3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = \sqrt{t}$ e $g (t) = 2 t - 3$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{d}{d t} [\sqrt{t}] - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 8.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t - 3$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 10

Avalie $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Etapa 10.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 10.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 10.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 11.1

Como $- 3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 3$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 + 0)}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 11.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.2.1.1

Fatore $2$ de $2 t$ .

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.2.1.2

Fatore $2$ de $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 (t^{\frac{1}{2}})} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.2.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.2.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{t \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.2.2

Combine $t$ e $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t}{t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.2.3

Mova $t^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.2.4

Multiplique $t$ por $t^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.2.4.1

Multiplique $t$ por $t^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 12.2.4.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.2.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{t^{1 - \frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.2.4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{t^{\frac{2 - 1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.2.4.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.2.5

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.3.1

Para escrever $t^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.2

Combine $t^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.3.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.4.2

Multiplique $t^{\frac{1}{2}}$ por $t^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.3.4.2.1

Mova $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1 + 1}{2}} - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.4.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{2 t^{\frac{2}{2}} - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.4.2.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{2 t^{1} - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.4.3

Simplifique $2 t^{1}$ .

$\frac{\frac{2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.5

Para escrever $- 2 \sqrt{t}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.6

Combine $- 2 \sqrt{t}$ e $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 t - 3 - 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.3.8.1

Multiplique $- 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 12.3.8.1.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 \sqrt{t} t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.8.1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.8.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.8.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 t^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.8.1.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 t^{\frac{2}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.8.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.3.8.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 t^{\frac{2}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.8.1.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 t^{1}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.8.2

Simplifique.

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 t}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.3.8.3

Subtraia $4 t$ de $2 t$ .

$\frac{\frac{- 2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{- 2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.5

Multiplique $\frac{- 2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{(2 t - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.6

Fatore $- 1$ de $- 2 t$ .

$\frac{- (2 t) - 3}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.7

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{- (2 t) - 1 (3)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.8

Fatore $- 1$ de $- (2 t) - 1 (3)$ .

$\frac{- (2 t + 3)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.9

Reescreva $- (2 t + 3)$ como $- 1 (2 t + 3)$ .

$\frac{- 1 (2 t + 3)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 3)}^{2}}$

Etapa 12.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 3)}^{2}}$