Cálculo Exemplos

$g (x) = \frac{8 x^{6} - 6 x^{8}}{x^{4}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 8 x^{6} - 6 x^{8}$ e $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [8 x^{6} - 6 x^{8}] - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{6} - 6 x^{8}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]$ .

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [8 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{6}]$ .

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Etapa 3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{6}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{x^{4} (8 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$\frac{x^{4} (8 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $6$ por $8$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]$ .

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Etapa 4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{8}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 6 \frac{d}{d x} [x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 6 (8 x^{7})) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 4.3

Multiplique $8$ por $- 6$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 48 x^{7}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 5.1

Reordene os termos.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7} + 48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7} + 48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) + (- (8 x^{6}) - (- 6 x^{8})) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 48 x^{4} x^{7} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.1.2

Multiplique $x^{4}$ por $x^{7}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1.2.1

Mova $x^{7}$ .

$\frac{- 48 (x^{7} x^{4}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 48 x^{7 + 4} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.1.2.3

Some $7$ e $4$ .

$\frac{- 48 x^{11} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{4} x^{5} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.1.4

Multiplique $x^{4}$ por $x^{5}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1.4.1

Mova $x^{5}$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 (x^{5} x^{4}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{5 + 4} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.1.4.3

Some $5$ e $4$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.1.5

Multiplique $x^{6}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1.5.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 (x^{3} x^{6})) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{3 + 6}) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.1.5.3

Some $3$ e $6$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{9}) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.1.6

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 8 x^{9} \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.1.7

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.1.8

Multiplique $x^{8}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1.8.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 (x^{3} x^{8})) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.1.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{3 + 8}) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.1.8.3

Some $3$ e $8$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{11}) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.1.9

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} + 6 x^{11} \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.1.10

Multiplique $4$ por $6$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} + 24 x^{11}}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.2

Some $- 48 x^{11}$ e $24 x^{11}$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9}}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.4.3

Subtraia $32 x^{9}$ de $48 x^{9}$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 6.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{2}$ .

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Etapa 6.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{x^{4 \cdot 2}}$

Etapa 6.5.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{x^{8}}$

Etapa 6.6

Fatore $8 x^{9}$ de $- 24 x^{11} + 16 x^{9}$ .

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Etapa 6.6.1

Fatore $8 x^{9}$ de $- 24 x^{11}$ .

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 16 x^{9}}{x^{8}}$

Etapa 6.6.2

Fatore $8 x^{9}$ de $16 x^{9}$ .

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 8 x^{9} (2)}{x^{8}}$

Etapa 6.6.3

Fatore $8 x^{9}$ de $8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 8 x^{9} (2)$ .

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2} + 2)}{x^{8}}$

Etapa 6.7

Cancele o fator comum de $x^{9}$ e $x^{8}$ .

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Etapa 6.7.1

Fatore $x^{8}$ de $8 x^{9} (- 3 x^{2} + 2)$ .

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8}}$

Etapa 6.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.7.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8} \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8} \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8 x (- 3 x^{2} + 2)}{1}$

Etapa 6.7.2.4

Divida $8 x (- 3 x^{2} + 2)$ por $1$ .

$8 x (- 3 x^{2} + 2)$

Etapa 6.8

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x (- 3 x^{2}) + 8 x \cdot 2$

Etapa 6.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 8 x \cdot 2$

Etapa 6.10

Multiplique $2$ por $8$ .

$8 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 16 x$

Etapa 6.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.11.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.11.1.1

Mova $x^{2}$ .

$8 \cdot - 3 (x^{2} x) + 16 x$

Etapa 6.11.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 6.11.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$8 \cdot - 3 (x^{2} x^{1}) + 16 x$

Etapa 6.11.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 \cdot - 3 x^{2 + 1} + 16 x$

Etapa 6.11.1.3

Some $2$ e $1$ .

$8 \cdot - 3 x^{3} + 16 x$

Etapa 6.11.2

Multiplique $8$ por $- 3$ .

$- 24 x^{3} + 16 x$