Cálculo Exemplos

$e^{x} - e^{3 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - e^{3 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{3 x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 1.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 1.1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 1.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$e^{x} - (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 1.1.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x} - (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Etapa 1.1.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$e^{x} - (e^{3 x} \cdot 3)$

Etapa 1.1.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$e^{x} - (3 \cdot e^{3 x})$

Etapa 1.1.3.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 e^{3 x}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $e^{x} - 3 e^{3 x}$ .

$e^{x} - 3 e^{3 x}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $e^{x} - 3 e^{3 x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$e^{x} - 3 e^{3 x} = 0$

Etapa 2.2

Mova $- 3 e^{3 x}$ para o lado direito da equação, somando-o aos dois lados.

$e^{x} = 3 e^{3 x}$

Etapa 2.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (3 e^{3 x})$

Etapa 2.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (3 e^{3 x})$

Etapa 2.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3 e^{3 x})$

Etapa 2.4.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (3 e^{3 x})$

Etapa 2.5

Expanda o lado direito.

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Etapa 2.5.1

Reescreva $\ln (3 e^{3 x})$ como $\ln (3) + \ln (e^{3 x})$ .

$x = \ln (3) + \ln (e^{3 x})$

Etapa 2.5.2

Expanda $\ln (e^{3 x})$ movendo $3 x$ para fora do logaritmo.

$x = \ln (3) + 3 x \ln (e)$

Etapa 2.5.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x = \ln (3) + 3 x \cdot 1$

Etapa 2.5.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$x = \ln (3) + 3 x$

Etapa 2.6

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.6.1

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$x - 3 x = \ln (3)$

Etapa 2.6.2

Subtraia $3 x$ de $x$ .

$- 2 x = \ln (3)$

Etapa 2.7

Divida cada termo em $- 2 x = \ln (3)$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 2.7.1

Divida cada termo em $- 2 x = \ln (3)$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (3)}{- 2}$

Etapa 2.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.7.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 2.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (3)}{- 2}$

Etapa 2.7.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{- 2}$

Etapa 2.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.7.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (3)}{2}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $e^{x} - e^{3 x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - \frac{\ln (3)}{2}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- \frac{\ln (3)}{2}$ por $x$ .

$e^{- \frac{\ln (3)}{2}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Reescreva $\frac{\ln (3)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (3)$ .

$e^{- (\frac{1}{2} \ln (3))} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Etapa 4.1.2.1.2

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (3)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$e^{- \ln (3^{\frac{1}{2}})} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Etapa 4.1.2.1.3

Simplifique $- \ln (3^{\frac{1}{2}})$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$e^{\ln ({(3^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Etapa 4.1.2.1.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(3^{\frac{1}{2}})}^{- 1} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique os expoentes em ${(3^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.1.2.1.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot - 1} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Etapa 4.1.2.1.5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$3^{\frac{- 1}{2}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Etapa 4.1.2.1.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3^{- \frac{1}{2}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Etapa 4.1.2.1.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Etapa 4.1.2.1.7

Reescreva $\frac{\ln (3)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (3)$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{3 (- (\frac{1}{2} \ln (3)))}$

Etapa 4.1.2.1.8

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (3)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{2}}))}$

Etapa 4.1.2.1.9

Multiplique $3 (- \ln (3^{\frac{1}{2}}))$ .

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Etapa 4.1.2.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 4.1.2.1.9.2

Simplifique $- 3 \ln (3^{\frac{1}{2}})$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}$

Etapa 4.1.2.1.10

Simplifique $- \ln ({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}^{- 1})}$

Etapa 4.1.2.1.11

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - {({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}^{- 1}$

Etapa 4.1.2.1.12

Multiplique os expoentes em ${({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.1.2.1.12.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{3 \cdot - 1}$

Etapa 4.1.2.1.12.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

Etapa 4.1.2.1.13

Multiplique os expoentes em ${(3^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ .

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Etapa 4.1.2.1.13.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{2} \cdot - 3}$

Etapa 4.1.2.1.13.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{- 3}{2}}$

Etapa 4.1.2.1.13.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - 3^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 4.1.2.1.14

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.1.2.2

Para escrever $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3^{\frac{3}{2}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $3^{\frac{1}{2}}$ por $3^{\frac{2}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.2.3.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.1.2.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1 + 2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.1.2.3.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3^{\frac{2}{2}} - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.1.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.5.1

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{3^{1} - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.1.2.5.2

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$\frac{3 - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.1.2.5.3

Subtraia $1$ de $3$ .

$\frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(- \frac{\ln (3)}{2}, \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 5