Cálculo Exemplos

$9 \sec (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 \sec (x)$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = 9 \sec (x) \tan (x)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $9 \sec (x) \tan (x)$ .

$9 \sec (x) \tan (x)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $9 \sec (x) \tan (x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$9 \sec (x) \tan (x) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Etapa 2.3

Defina $\sec (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $\sec (x)$ como igual a $0$ .

$\sec (x) = 0$

Etapa 2.3.2

O intervalo da secante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 2.4

Defina $\tan (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $\tan (x)$ como igual a $0$ .

$\tan (x) = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $\tan (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (0)$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.4.2.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + 0$

Etapa 2.4.2.4

Some $π$ e $0$ .

$x = π$

Etapa 2.4.2.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 2.4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 2.4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 2.4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 2.4.2.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.4.2.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $9 \sec (x) \tan (x) = 0$ verdadeiro.

$x = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.6

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\sec (x)$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.2

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Avalie $9 \sec (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$9 \sec (0)$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$9 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $9$ por $1$ .

$9$

Etapa 4.2

Avalie em $x = π$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $π$ por $x$ .

$9 \sec (π)$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no segundo quadrante.

$9 (- \sec (0))$

Etapa 4.2.2.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$9 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 4.2.2.3

Multiplique $9 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 4.2.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$9 \cdot - 1$

Etapa 4.2.2.3.2

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$- 9$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(0 + 2 π n, 9), (π + 2 π n, - 9)$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5