Cálculo Exemplos

$\sin (6 x) + \cos (6 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (6 x) + \cos (6 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $6 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Etapa 1.1.2.1.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Etapa 1.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $6 x$ .

$\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (6 x) (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$\cos (6 x) \cdot 6 + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Etapa 1.1.2.5

Mova $6$ para a esquerda de $\cos (6 x)$ .

$6 \cos (6 x) + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 1.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $6 x$ .

$6 \cos (6 x) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 1.1.3.1.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 1.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $6 x$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 1.1.3.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (6 x) (6 \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (6 x) \cdot 6$

Etapa 1.1.3.5

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$f' (x) = 6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x)$ .

$6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x) = 0$

Etapa 2.2

Divida cada termo na equação por $\cos (6 x)$ .

$\frac{6 \cos (6 x)}{\cos (6 x)} + \frac{- 6 \sin (6 x)}{\cos (6 x)} = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $\cos (6 x)$ .

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \cos (6 x)}{\cos (6 x)} + \frac{- 6 \sin (6 x)}{\cos (6 x)} = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Etapa 2.3.2

Divida $6$ por $1$ .

$6 + \frac{- 6 \sin (6 x)}{\cos (6 x)} = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Etapa 2.4

Separe as frações.

$6 + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)} = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Etapa 2.5

Converta de $\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ em $\tan (6 x)$ .

$6 + \frac{- 6}{1} \cdot \tan (6 x) = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Etapa 2.6

Divida $- 6$ por $1$ .

$6 - 6 \tan (6 x) = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Etapa 2.7

Separe as frações.

$6 - 6 \tan (6 x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (6 x)}$

Etapa 2.8

Converta de $\frac{1}{\cos (6 x)}$ em $\sec (6 x)$ .

$6 - 6 \tan (6 x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (6 x)$

Etapa 2.9

Divida $0$ por $1$ .

$6 - 6 \tan (6 x) = 0 \sec (6 x)$

Etapa 2.10

Multiplique $0$ por $\sec (6 x)$ .

$6 - 6 \tan (6 x) = 0$

Etapa 2.11

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$- 6 \tan (6 x) = - 6$

Etapa 2.12

Divida cada termo em $- 6 \tan (6 x) = - 6$ por $- 6$ e simplifique.

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Etapa 2.12.1

Divida cada termo em $- 6 \tan (6 x) = - 6$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 \tan (6 x)}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Etapa 2.12.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.12.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

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Etapa 2.12.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 \tan (6 x)}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Etapa 2.12.2.1.2

Divida $\tan (6 x)$ por $1$ .

$\tan (6 x) = \frac{- 6}{- 6}$

Etapa 2.12.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.12.3.1

Divida $- 6$ por $- 6$ .

$\tan (6 x) = 1$

Etapa 2.13

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$6 x = \arctan (1)$

Etapa 2.14

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.14.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$6 x = \frac{π}{4}$

Etapa 2.15

Divida cada termo em $6 x = \frac{π}{4}$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 2.15.1

Divida cada termo em $6 x = \frac{π}{4}$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{π}{4}}{6}$

Etapa 2.15.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.15.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{π}{4}}{6}$

Etapa 2.15.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{6}$

Etapa 2.15.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.15.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{6}$

Etapa 2.15.3.2

Multiplique $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Etapa 2.15.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{6}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 6}$

Etapa 2.15.3.2.2

Multiplique $4$ por $6$ .

$x = \frac{π}{24}$

Etapa 2.16

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$6 x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 2.17

Resolva $x$ .

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Etapa 2.17.1

Simplifique.

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Etapa 2.17.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$6 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 2.17.1.2

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$6 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 2.17.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 2.17.1.4

Some $π \cdot 4$ e $π$ .

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Etapa 2.17.1.4.1

Reordene $π$ e $4$ .

$6 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 2.17.1.4.2

Some $4 \cdot π$ e $π$ .

$6 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Etapa 2.17.2

Divida cada termo em $6 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.17.2.1

Divida cada termo em $6 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{6}$

Etapa 2.17.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.17.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.17.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{6}$

Etapa 2.17.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{6}$

Etapa 2.17.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.17.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{6}$

Etapa 2.17.2.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Etapa 2.17.2.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{4}$ por $\frac{1}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 6}$

Etapa 2.17.2.3.2.2

Multiplique $4$ por $6$ .

$x = \frac{5 π}{24}$

Etapa 2.18

Encontre o período de $\tan (6 x)$ .

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Etapa 2.18.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 2.18.2

Substitua $b$ por $6$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 6 |}$

Etapa 2.18.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $6$ é $6$ .

$\frac{π}{6}$

Etapa 2.19

O período da função $\tan (6 x)$ é $\frac{π}{6}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{π}{6}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{6}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{6}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $\sin (6 x) + \cos (6 x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{π}{24}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{π}{24}$ por $x$ .

$\sin (6 (\frac{π}{24})) + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1.1

Fatore $6$ de $24$ .

$\sin (6 \frac{π}{6 (4)}) + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\sin (6 \frac{π}{6 \cdot 4}) + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Etapa 4.1.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\sin (\frac{π}{4}) + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Etapa 4.1.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Etapa 4.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.3.1

Fatore $6$ de $24$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 \frac{π}{6 (4)})$

Etapa 4.1.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 \frac{π}{6 \cdot 4})$

Etapa 4.1.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 4.1.2.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.1.2.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.1.2.2.3.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \frac{5 π}{24}$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $\frac{5 π}{24}$ por $x$ .

$\sin (6 (\frac{5 π}{24})) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Fatore $6$ de $24$ .

$\sin (6 \frac{5 π}{6 (4)}) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\sin (6 \frac{5 π}{6 \cdot 4}) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Etapa 4.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Etapa 4.2.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Etapa 4.2.2.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Etapa 4.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.4.1

Fatore $6$ de $24$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 \frac{5 π}{6 (4)})$

Etapa 4.2.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 \frac{5 π}{6 \cdot 4})$

Etapa 4.2.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Etapa 4.2.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 4.2.2.1.6

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.2.2.2.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Etapa 4.2.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Etapa 4.2.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Etapa 4.2.2.2.3.2.4

Divida $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{2}$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{π}{24} + \frac{π n}{3}, \sqrt{2}), (\frac{5 π}{24} + \frac{π n}{3}, - \sqrt{2})$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5