Cálculo Exemplos

$6 \sin (x) + \sin (2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \sin (x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$6 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Etapa 1.1.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ .

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$

Etapa 2.2

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$6 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$6 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 2.4

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Substitua $- 4 \sin^{2} (x)$ por $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.4.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.4.3

Subtraia $4$ de $2$ .

$6 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.4.4

Reordene o polinômio.

$4 \cos^{2} (x) + 6 \cos (x) - 2 = 0$

Etapa 2.4.5

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 6 (u) - 2 = 0$

Etapa 2.4.6

Fatore $2$ de $4 u^{2} + 6 u - 2$ .

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Etapa 2.4.6.1

Fatore $2$ de $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) + 6 u - 2 = 0$

Etapa 2.4.6.2

Fatore $2$ de $6 u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) - 2 = 0$

Etapa 2.4.6.3

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) + 2 (- 1) = 0$

Etapa 2.4.6.4

Fatore $2$ de $2 (2 u^{2}) + 2 (3 u)$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1) = 0$

Etapa 2.4.6.5

Fatore $2$ de $2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$

Etapa 2.4.7

Divida cada termo em $2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.7.1

Divida cada termo em $2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.4.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.7.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.4.7.2.1.2

Divida $2 u^{2} + 3 u - 1$ por $1$ .

$2 u^{2} + 3 u - 1 = \frac{0}{2}$

Etapa 2.4.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.7.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$2 u^{2} + 3 u - 1 = 0$

Etapa 2.4.8

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.9

Substitua os valores $a = 2$ , $b = 3$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.4.10

Simplifique.

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Etapa 2.4.10.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.10.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.4.10.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Etapa 2.4.10.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.4.10.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.4.10.1.3

Some $9$ e $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.4.10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Etapa 2.4.11

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 2.4.11.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.11.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.4.11.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.11.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.4.11.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.4.11.1.3

Some $9$ e $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.4.11.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Etapa 2.4.11.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$u = \frac{- 3 + \sqrt{17}}{4}$

Etapa 2.4.11.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{17}}{4}$

Etapa 2.4.11.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{17}$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{17})}{4}$

Etapa 2.4.11.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{17})$ .

$u = \frac{- 1 (3 - \sqrt{17})}{4}$

Etapa 2.4.11.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Etapa 2.4.12

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 2.4.12.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.12.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.4.12.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.12.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.4.12.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.4.12.1.3

Some $9$ e $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.4.12.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Etapa 2.4.12.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$u = \frac{- 3 - \sqrt{17}}{4}$

Etapa 2.4.12.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{17}}{4}$

Etapa 2.4.12.5

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{17}$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{17})}{4}$

Etapa 2.4.12.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (\sqrt{17})$ .

$u = \frac{- 1 (3 + \sqrt{17})}{4}$

Etapa 2.4.12.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Etapa 2.4.13

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Etapa 2.4.14

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Etapa 2.4.15

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Etapa 2.4.16

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ .

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Etapa 2.4.16.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

Etapa 2.4.16.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.16.2.1

Avalie $\arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 1.28619336$

Etapa 2.4.16.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

Etapa 2.4.16.4

Resolva $x$ .

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Etapa 2.4.16.4.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

Etapa 2.4.16.4.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 1.28619336$ .

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Etapa 2.4.16.4.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.28619336$

Etapa 2.4.16.4.2.2

Subtraia $1.28619336$ de $6.2831853$ .

$x = 4.99699194$

Etapa 2.4.16.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.4.16.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.4.16.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.4.16.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.4.16.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.4.16.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.4.17

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ .

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Etapa 2.4.17.1

O intervalo do cosseno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 2.4.18

Liste todas as soluções.

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 1.28619336$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $1.28619336$ por $x$ .

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2 (1.28619336))$

Etapa 4.1.2

Multiplique $2$ por $1.28619336$ .

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 4.99699194$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $4.99699194$ por $x$ .

$6 \sin (4.99699194) + \sin (2 (4.99699194))$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $4.99699194$ .

$6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 4.99699194 + 2 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $4.99699194 + 2 π$ por $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 2 π) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Some $4.99699194$ e $2 π$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

Etapa 4.3.2.2

Some $4.99699194$ e $2 π$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 \cdot 11.28017724)$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $2$ por $11.28017724$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)$

Etapa 4.4

Avalie em $x = 4.99699194 + 4 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua $4.99699194 + 4 π$ por $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 4 π) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

Etapa 4.4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Some $4.99699194$ e $4 π$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

Etapa 4.4.2.2

Some $4.99699194$ e $4 π$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 \cdot 17.56336255)$

Etapa 4.4.2.3

Multiplique $2$ por $17.56336255$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)$

Etapa 4.5

Avalie em $x = 4.99699194 + 6 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua $4.99699194 + 6 π$ por $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 6 π) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

Etapa 4.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Some $4.99699194$ e $6 π$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

Etapa 4.5.2.2

Some $4.99699194$ e $6 π$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 \cdot 23.84654786)$

Etapa 4.5.2.3

Multiplique $2$ por $23.84654786$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)$

Etapa 4.6

Avalie em $x = 4.99699194 + 8 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Substitua $4.99699194 + 8 π$ por $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 8 π) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

Etapa 4.6.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.1

Some $4.99699194$ e $8 π$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

Etapa 4.6.2.2

Some $4.99699194$ e $8 π$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 \cdot 30.12973317)$

Etapa 4.6.2.3

Multiplique $2$ por $30.12973317$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634)$

Etapa 4.7

Liste todos os pontos.

$(1.28619336 + 2 π n, 6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)), (4.99699194, 6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)), (4.99699194 + 2 π, 6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)), (4.99699194 + 4 π, 6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)), (4.99699194 + 6 π, 6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)), (4.99699194 + 8 π, 6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634))$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5