Cálculo Exemplos

$(24 - 2 x) (24 - 2 x) x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Eleve $24 - 2 x$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{1} (24 - 2 x) x]$

Etapa 1.1.2

Eleve $24 - 2 x$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{1} {(24 - 2 x)}^{1} x]$

Etapa 1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{1 + 1} x]$

Etapa 1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2} x]$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(24 - 2 x)}^{2}$ e $g (x) = x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2}]$

Etapa 1.1.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2}]$

Etapa 1.1.6.2

Multiplique ${(24 - 2 x)}^{2}$ por $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x \frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2}]$

Etapa 1.1.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 24 - 2 x$ .

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Etapa 1.1.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $24 - 2 x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [24 - 2 x])$

Etapa 1.1.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 u \frac{d}{d x} [24 - 2 x])$

Etapa 1.1.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $24 - 2 x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [24 - 2 x])$

Etapa 1.1.8

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $24 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

Etapa 1.1.8.2

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24$ em relação a $x$ é $0$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

Etapa 1.1.8.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 1.1.8.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.1.8.5

Multiplique $- 2$ por $2$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.8.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 (24 - 2 x) \cdot 1)$

Etapa 1.1.8.7

Multiplique $- 4$ por $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 (24 - 2 x))$

Etapa 1.1.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 \cdot 24 - 4 (- 2 x))$

Etapa 1.1.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 \cdot 24) + x (- 4 (- 2 x))$

Etapa 1.1.9.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.3.1

Multiplique $- 4$ por $24$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x \cdot - 96 + x (- 4 (- 2 x))$

Etapa 1.1.9.3.2

Mova $- 96$ para a esquerda de $x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 \cdot x + x (- 4 (- 2 x))$

Etapa 1.1.9.3.3

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + x (8 x)$

Etapa 1.1.9.3.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 (x^{1} x)$

Etapa 1.1.9.3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 (x^{1} x^{1})$

Etapa 1.1.9.3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 x^{1 + 1}$

Etapa 1.1.9.3.7

Some $1$ e $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 x^{2}$

Etapa 1.1.9.4

Reordene os termos.

$8 x^{2} + {(24 - 2 x)}^{2} - 96 x$

Etapa 1.1.9.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.9.5.1

Reescreva ${(24 - 2 x)}^{2}$ como $(24 - 2 x) (24 - 2 x)$ .

$8 x^{2} + (24 - 2 x) (24 - 2 x) - 96 x$

Etapa 1.1.9.5.2

Expanda $(24 - 2 x) (24 - 2 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x^{2} + 24 (24 - 2 x) - 2 x (24 - 2 x) - 96 x$

Etapa 1.1.9.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x^{2} + 24 \cdot 24 + 24 (- 2 x) - 2 x (24 - 2 x) - 96 x$

Etapa 1.1.9.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x^{2} + 24 \cdot 24 + 24 (- 2 x) - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Etapa 1.1.9.5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.5.3.1.1

Multiplique $24$ por $24$ .

$8 x^{2} + 576 + 24 (- 2 x) - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Etapa 1.1.9.5.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $24$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Etapa 1.1.9.5.3.1.3

Multiplique $24$ por $- 2$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Etapa 1.1.9.5.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 96 x$

Etapa 1.1.9.5.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.9.5.3.1.5.1

Mova $x$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 96 x$

Etapa 1.1.9.5.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 2 x^{2} - 96 x$

Etapa 1.1.9.5.3.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x + 4 x^{2} - 96 x$

Etapa 1.1.9.5.3.2

Subtraia $48 x$ de $- 48 x$ .

$8 x^{2} + 576 - 96 x + 4 x^{2} - 96 x$

Etapa 1.1.9.6

Some $8 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} + 576 - 96 x - 96 x$

Etapa 1.1.9.7

Subtraia $96 x$ de $- 96 x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 576 - 192 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} + 576 - 192 x$ .

$12 x^{2} + 576 - 192 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} + 576 - 192 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} + 576 - 192 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $12$ de $12 x^{2} + 576 - 192 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $12$ de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) + 576 - 192 x = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $12$ de $576$ .

$12 x^{2} + 12 \cdot 48 - 192 x = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $12$ de $- 192 x$ .

$12 x^{2} + 12 \cdot 48 + 12 (- 16 x) = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $12$ de $12 x^{2} + 12 \cdot 48$ .

$12 (x^{2} + 48) + 12 (- 16 x) = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $12$ de $12 (x^{2} + 48) + 12 (- 16 x)$ .

$12 (x^{2} + 48 - 16 x) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} + 48 - 16 x$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $48$ e cuja soma é $- 16$ .

$- 12, - 4$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$12 ((x - 12) (x - 4)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$12 (x - 12) (x - 4) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 12 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 12$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 12$ como igual a $0$ .

$x - 12 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $12$ aos dois lados da equação.

$x = 12$

Etapa 2.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $12 (x - 12) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 12, 4$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $(24 - 2 x) (24 - 2 x) x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $12$ por $x$ .

$(24 - 2 \cdot 12) (24 - 2 \cdot 12) (12)$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 2$ por $12$ .

$(24 - 24) (24 - 2 \cdot 12) \cdot 12$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $24$ de $24$ .

$0 (24 - 2 \cdot 12) \cdot 12$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- 2$ por $12$ .

$0 (24 - 24) \cdot 12$

Etapa 4.1.2.4

Subtraia $24$ de $24$ .

$0 \cdot 0 \cdot 12$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $0 \cdot 0 \cdot 12$ .

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Etapa 4.1.2.5.1

Multiplique $0$ por $0$ .

$0 \cdot 12$

Etapa 4.1.2.5.2

Multiplique $0$ por $12$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $4$ por $x$ .

$(24 - 2 \cdot 4) (24 - 2 \cdot 4) (4)$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$(24 - 8) (24 - 2 \cdot 4) \cdot 4$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $8$ de $24$ .

$16 (24 - 2 \cdot 4) \cdot 4$

Etapa 4.2.2.3

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$16 (24 - 8) \cdot 4$

Etapa 4.2.2.4

Subtraia $8$ de $24$ .

$16 \cdot 16 \cdot 4$

Etapa 4.2.2.5

Multiplique $16 \cdot 16 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.5.1

Multiplique $16$ por $16$ .

$256 \cdot 4$

Etapa 4.2.2.5.2

Multiplique $256$ por $4$ .

$1024$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(12, 0), (4, 1024)$

Etapa 5