Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x^{2} + 28)}^{\frac{4}{5}}$ ; $x = 2$

Etapa 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = {({(2)}^{2} + 28)}^{\frac{4}{5}}$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = {(2^{2} + 28)}^{\frac{4}{5}}$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = {({(2)}^{2} + 28)}^{\frac{4}{5}}$

Etapa 1.2.3

Simplifique ${({(2)}^{2} + 28)}^{\frac{4}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = {(4 + 28)}^{\frac{4}{5}}$

Etapa 1.2.3.1.2

Some $4$ e $28$ .

$y = 32^{\frac{4}{5}}$

Etapa 1.2.3.1.3

Reescreva $32$ como $2^{5}$ .

$y = {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}$

Etapa 1.2.3.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2^{5 (\frac{4}{5})}$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$y = 2^{5 (\frac{4}{5})}$

Etapa 1.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y = 2^{4}$

Etapa 1.2.3.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$y = 16$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = 16$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{4}{5}}$ e $g (x) = x^{2} + 28$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 28$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{5}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 28]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} u^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 28]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 28$ .

$\frac{4}{5} {(x^{2} + 28)}^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 28]$

Etapa 2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} {(x^{2} + 28)}^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 28]$

Etapa 2.3

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} {(x^{2} + 28)}^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 28]$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4}{5} {(x^{2} + 28)}^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 28]$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{4}{5} {(x^{2} + 28)}^{\frac{4 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 28]$

Etapa 2.5.2

Subtraia $5$ de $4$ .

$\frac{4}{5} {(x^{2} + 28)}^{\frac{- 1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 28]$

Etapa 2.6

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4}{5} {(x^{2} + 28)}^{- \frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 28]$

Etapa 2.6.2

Combine $\frac{4}{5}$ e ${(x^{2} + 28)}^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 28)}^{- \frac{1}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 28]$

Etapa 2.6.3

Mova ${(x^{2} + 28)}^{- \frac{1}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 {(x^{2} + 28)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 28]$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 28$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]$ .

$\frac{4}{5 {(x^{2} + 28)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [28])$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{4}{5 {(x^{2} + 28)}^{\frac{1}{5}}} (2 x + \frac{d}{d x} [28])$

Etapa 2.9

Como $28$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $28$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4}{5 {(x^{2} + 28)}^{\frac{1}{5}}} (2 x + 0)$

Etapa 2.10

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{4}{5 {(x^{2} + 28)}^{\frac{1}{5}}} (2 x)$

Etapa 2.10.2

Combine $2$ e $\frac{4}{5 {(x^{2} + 28)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{5 {(x^{2} + 28)}^{\frac{1}{5}}} x$

Etapa 2.10.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{8}{5 {(x^{2} + 28)}^{\frac{1}{5}}} x$

Etapa 2.10.4

Combine $\frac{8}{5 {(x^{2} + 28)}^{\frac{1}{5}}}$ e $x$ .

$\frac{8 x}{5 {(x^{2} + 28)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 2.11

Avalie a derivada em $x = 2$ .

$\frac{8 (2)}{5 {({(2)}^{2} + 28)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 2.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{16}{5 {(2^{2} + 28)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 2.12.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{16}{5 {(4 + 28)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 2.12.2.2

Some $4$ e $28$ .

$\frac{16}{5 \cdot 32^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 2.12.2.3

Reescreva $32$ como $2^{5}$ .

$\frac{16}{5 \cdot {(2^{5})}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 2.12.2.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{5 \cdot 2^{5 (\frac{1}{5})}}$

Etapa 2.12.2.5

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 2.12.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16}{5 \cdot 2^{5 (\frac{1}{5})}}$

Etapa 2.12.2.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{16}{5 \cdot 2^{1}}$

Etapa 2.12.2.6

Avalie o expoente.

$\frac{16}{5 \cdot 2}$

Etapa 2.12.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.3.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{16}{10}$

Etapa 2.12.3.2

Cancele o fator comum de $16$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.3.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{2 (8)}{10}$

Etapa 2.12.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.3.2.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 5}$

Etapa 2.12.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 5}$

Etapa 2.12.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{5}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use a inclinação $\frac{8}{5}$ e um ponto determinado $(2, 16)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (16) = \frac{8}{5} \cdot (x - (2))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 16 = \frac{8}{5} \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique $\frac{8}{5} \cdot (x - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 16 = 0 + 0 + \frac{8}{5} \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 16 = \frac{8}{5} \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 16 = \frac{8}{5} x + \frac{8}{5} \cdot - 2$

Etapa 3.3.1.4

Combine $\frac{8}{5}$ e $x$ .

$y - 16 = \frac{8 x}{5} + \frac{8}{5} \cdot - 2$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $\frac{8}{5} \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.5.1

Combine $\frac{8}{5}$ e $- 2$ .

$y - 16 = \frac{8 x}{5} + \frac{8 \cdot - 2}{5}$

Etapa 3.3.1.5.2

Multiplique $8$ por $- 2$ .

$y - 16 = \frac{8 x}{5} + \frac{- 16}{5}$

Etapa 3.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 16 = \frac{8 x}{5} - \frac{16}{5}$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{8 x}{5} - \frac{16}{5} + 16$

Etapa 3.3.2.2

Para escrever $16$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{8 x}{5} - \frac{16}{5} + 16 \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 3.3.2.3

Combine $16$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{8 x}{5} - \frac{16}{5} + \frac{16 \cdot 5}{5}$

Etapa 3.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{- 16 + 16 \cdot 5}{5}$

Etapa 3.3.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.5.1

Multiplique $16$ por $5$ .

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{- 16 + 80}{5}$

Etapa 3.3.2.5.2

Some $- 16$ e $80$ .

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{64}{5}$

Etapa 3.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{8}{5} x + \frac{64}{5}$

Etapa 4