Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{3 (1 - x)}$ ; $x = 0.4$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{3 (1 - x)}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{(1 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $1 - x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.3.7

Multiplique.

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Etapa 1.3.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.3.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.3.9

Combine frações.

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Etapa 1.3.9.1

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.3.9.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x)) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.3.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 x + 2 (- x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.4.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.4.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- (x \cdot x)) + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.4.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- x^{2}) + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.4.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.4.3.2

Some $- 2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.4.4

Reordene os termos.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.4.5

Fatore $x$ de $- x^{2} + 2 x$ .

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Etapa 1.4.5.1

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 2 x}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.2

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 2}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.3

Fatore $x$ de $x (- x) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (- x + 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.4.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.4.7

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.4.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x - 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.4.9

Reescreva $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.4.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x (x - 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2

Substitua a variável $x$ por $0.4$ na expressão.

$f' (0.4) = - \frac{(0.4) ((0.4) - 2)}{3 {(1 - (0.4))}^{2}}$

Etapa 3

Multiplique $0.4$ por $0.4 - 2$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 {(1 - (0.4))}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $0.4$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 {(1 - 0.4)}^{2}}$

Etapa 4.2

Subtraia $0.4$ de $1$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 \cdot {0.6}^{2}}$

Etapa 4.3

Eleve $0.6$ à potência de $2$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 \cdot 0.36}$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Multiplique $3$ por $0.36$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{1.08}$

Etapa 5.2

Divida $- 0.64$ por $1.08$ .

$f' (0.4) = 0.\overline{592}$

Etapa 5.3

Multiplique $- 1$ por $- 0.\overline{592}$ .

$f' (0.4) = 0.\overline{592}$