Cálculo Exemplos

$f (x) = {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 1$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 10 x - 9$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $10 x - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $10 x - 9$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Etapa 1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Etapa 1.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Etapa 1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Etapa 1.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Etapa 1.6

Combine frações.

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Etapa 1.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Etapa 1.6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Etapa 1.6.3

Mova ${(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Etapa 1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 1.8

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 1.10

Multiplique $10$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 1.11

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0)$

Etapa 1.12

Simplifique os termos.

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Etapa 1.12.1

Some $10$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10$

Etapa 1.12.2

Combine $\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e $10$ .

$\frac{10}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.12.3

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.13.1

Fatore $2$ de $2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{{(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = \frac{5}{{(10 (1) - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1

Multiplique $10$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{5}{{(10 - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.2

Subtraia $9$ de $10$ .

$f' (1) = \frac{5}{1^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = \frac{5}{1}$

Etapa 4

Divida $5$ por $1$ .

$f' (1) = 5$