Cálculo Exemplos

$\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ é indefinida.

$- 2 < x < - 1, x = - \frac{1}{2}$

Etapa 2

$\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ a partir da esquerda e $\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 3.1

Fatore $x^{2} + 3 x + 2$ usando o método AC.

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Etapa 3.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $3$ .

$1, 2$

Etapa 3.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}{2 x + 1}$

Etapa 3.2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.3

Avalie o limite.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.3.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x + 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x + 2) + 1 (x + 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.1.2.4

Reordene $x$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.1.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.1.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.1.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.1.2.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.4.1.2.8.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.1.2.8.2

Simplifique.

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Etapa 3.4.1.2.8.2.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.1.2.8.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2 x + x + 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.1.2.8.3

Some $2 x$ e $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 3 x + 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.1.2.9

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x + 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.3.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.3.6

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.3.7

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.3.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.3.11

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.3.12

Multiplique $x + 2$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.3.13

Some $x$ e $x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.3.14

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.3.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{2 x}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.5

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{x}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.6

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.7

Avalie o limite.

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Etapa 3.7.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.7.1.2

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.7.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.7.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.7.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.7.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.7.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.7.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.7.6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.8

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.9

Avalie o limite.

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Etapa 3.9.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.9.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 3.9.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 3.10

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + 0}$

Etapa 3.11

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.11.1

Divida $2 + 3 \cdot 0$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 3 \cdot 0)}}{2 + 0}$

Etapa 3.11.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.11.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 0)}}{2 + 0}$

Etapa 3.11.2.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 + 0}$

Etapa 3.11.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2}{2}}}{2 + 0}$

Etapa 3.11.2.4

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{1}}{2 + 0}$

Etapa 3.11.2.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Etapa 3.11.3

Some $2$ e $0$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 4

Avalie $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Fatore $x^{2} + 3 x + 2$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $3$ .

$1, 2$

Etapa 4.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}{2 x + 1}$

Etapa 4.2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.3

Avalie o limite.

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.3.3

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.3.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 1) (x + 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x + 2) + 1 (x + 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.1.2.4

Reordene $x$ e $2$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.1.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.1.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.1.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.1.2.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.8.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.1.2.8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.8.2.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.1.2.8.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 2 x + x + 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.1.2.8.3

Some $2 x$ e $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 3 x + 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.1.2.9

O limite no menos infinito de um polinômio de grau par cujo coeficiente de maior ordem é mais infinito.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.1.3

O limite no menos infinito de um polinômio de grau par cujo coeficiente de maior ordem é mais infinito.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 4.4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x + 2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.3.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.3.6

Some $1$ e $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.3.7

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.3.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.3.11

Some $1$ e $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.3.12

Multiplique $x + 2$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.3.13

Some $x$ e $x$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1 + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.3.14

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4.3.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.5

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.6

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.7

Avalie o limite.

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Etapa 4.7.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.7.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.7.1.2

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.7.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.7.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.7.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.7.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.7.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.7.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.7.6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.8

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.9

Avalie o limite.

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Etapa 4.9.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4.9.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 4.9.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 4.10

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + 0}$

Etapa 4.11

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.11.1

Divida $2 + 3 \cdot 0$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} (2 + 3 \cdot 0)}}{2 + 0}$

Etapa 4.11.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.11.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} (2 + 0)}}{2 + 0}$

Etapa 4.11.2.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 + 0}$

Etapa 4.11.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{2}{2}}}{2 + 0}$

Etapa 4.11.2.4

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{2 + 0}$

Etapa 4.11.2.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 + 0}$

Etapa 4.11.3

Some $2$ e $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Etapa 4.11.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Etapa 4.11.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 5

Liste as assíntotas horizontais:

$y = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Etapa 6

Use a divisão polinomial para encontrar as assíntotas oblíquas. Como essa expressão contém um radical, não é possível realizar a divisão polinomial.

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - \frac{1}{2}$

Assíntotas horizontais: $y = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 8