Cálculo Exemplos

$- x^{3} - 15 x^{2} - 75 x + 2$

Etapa 1

Escreva $- x^{3} - 15 x^{2} - 75 x + 2$ como uma função.

$f (x) = - x^{3} - 15 x^{2} - 75 x + 2$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} - 15 x^{2} - 75 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 15$ .

$- 3 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 75 x]$ .

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Etapa 2.1.4.1

Como $- 75$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 75 x$ em relação a $x$ é $- 75 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} - 30 x - 75 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 x^{2} - 30 x - 75 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.4.3

Multiplique $- 75$ por $1$ .

$- 3 x^{2} - 30 x - 75 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 x^{2} - 30 x - 75 + 0$

Etapa 2.1.5.2

Some $- 3 x^{2} - 30 x - 75$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} - 30 x - 75$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{2} - 30 x - 75$ .

$- 3 x^{2} - 30 x - 75$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{2} - 30 x - 75 = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{2} - 30 x - 75 = 0$

Etapa 3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x^{2} - 30 x - 75$ .

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Etapa 3.2.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 30 x - 75 = 0$

Etapa 3.2.1.2

Fatore $- 3$ de $- 30 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (10 x) - 75 = 0$

Etapa 3.2.1.3

Fatore $- 3$ de $- 75$ .

$- 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25 = 0$

Etapa 3.2.1.4

Fatore $- 3$ de $- 3 (x^{2}) - 3 (10 x)$ .

$- 3 (x^{2} + 10 x) - 3 \cdot 25 = 0$

Etapa 3.2.1.5

Fatore $- 3$ de $- 3 (x^{2} + 10 x) - 3 (25)$ .

$- 3 (x^{2} + 10 x + 25) = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.2.2.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 10 x + 5^{2}) = 0$

Etapa 3.2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva o polinômio.

$- 3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Etapa 3.2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 5$ .

$- 3 {(x + 5)}^{2} = 0$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $- 3 {(x + 5)}^{2} = 0$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $- 3 {(x + 5)}^{2} = 0$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 {(x + 5)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 {(x + 5)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida ${(x + 5)}^{2}$ por $1$ .

${(x + 5)}^{2} = \frac{0}{- 3}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Divida $0$ por $- 3$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Etapa 3.4

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 3.5

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $- 5$ .

$- 5$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - 3 x^{2} - 30 x - 75$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = - x^{3} - 15 x^{2} - 75 x + 2$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$ .

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 5)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f' (- 6) = - 3 {(- 6)}^{2} - 30 \cdot - 6 - 75$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f' (- 6) = - 3 \cdot 36 - 30 \cdot - 6 - 75$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $36$ .

$f' (- 6) = - 108 - 30 \cdot - 6 - 75$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 30$ por $- 6$ .

$f' (- 6) = - 108 + 180 - 75$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 6.2.2.1

Some $- 108$ e $180$ .

$f' (- 6) = 72 - 75$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $75$ de $72$ .

$f' (- 6) = - 3$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 6.3

Em $x = - 6$ , a derivada é $- 3$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 5)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 5)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 5, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = - 3 {(- 4)}^{2} - 30 \cdot - 4 - 75$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = - 3 \cdot 16 - 30 \cdot - 4 - 75$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $16$ .

$f' (- 4) = - 48 - 30 \cdot - 4 - 75$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 30$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = - 48 + 120 - 75$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 7.2.2.1

Some $- 48$ e $120$ .

$f' (- 4) = 72 - 75$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $75$ de $72$ .

$f' (- 4) = - 3$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 7.3

Em $x = - 4$ , a derivada é $- 3$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 5, \infty)$ .

Decréscimo em $(- 5, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Decréscimo em: $(- \infty, - 5), (- 5, \infty)$

Etapa 9