Cálculo Exemplos

$\sin (x) - x \cos (x)$

Etapa 1

Escreva $\sin (x) - x \cos (x)$ como uma função.

$f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) - x \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f' (x) = \cos (x) - \frac{d}{d x} (x \cos (x))$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.1.3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Etapa 2.1.3.5

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x))) - \cos (x)$

Etapa 2.1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.1.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = \cos (x) + 1 (x (\sin (x))) - \cos (x)$

Etapa 2.1.4.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f' (x) = \cos (x) + x \sin (x) - \cos (x)$

Etapa 2.1.4.2.3

Subtraia $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$f' (x) = x \sin (x) + 0$

Etapa 2.1.4.2.4

Some $x \sin (x)$ e $0$ .

$f' (x) = x \sin (x)$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x \sin (x)$ .

$x \sin (x)$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x \sin (x) = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x \sin (x) = 0$

Etapa 3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$\sin (x) = 0$

Etapa 3.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.4

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.4.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 3.4.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 3.4.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.4.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.4.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.5

A solução final são todos os valores que tornam $x \sin (x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.6

Consolide as respostas.

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Etapa 3.6.1

Consolide $0$ e $2 π n$ em $2 π n$ .

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.6.2

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $π n$ .

$π n$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = x \sin (x)$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, π n)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $π n - 1$ na expressão.

$f' (π n - 1) = (π n - 1) \sin (π n - 1)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - 1 \sin (π n - 1)$

Etapa 6.2.2

Reescreva $- 1 \sin (π n - 1)$ como $- \sin (π n - 1)$ .

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ .

$π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

Etapa 6.3

Em $x = π n - 1$ , a derivada é $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, π n)$ .

Decréscimo em $(- \infty, π n)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(π n, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $π n + 1$ na expressão.

$f' (π n + 1) = (π n + 1) \sin (π n + 1)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + 1 \sin (π n + 1)$

Etapa 7.2.2

Multiplique $\sin (π n + 1)$ por $1$ .

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ .

$π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

Etapa 7.3

Em $x = π n + 1$ , a derivada é $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(π n, \infty)$ .

Acréscimo em $(π n, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(π n, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, π n)$

Etapa 9