Cálculo Exemplos

$\arctan (x^{2} - 2 x)$

Etapa 1

Escreva $\arctan (x^{2} - 2 x)$ como uma função.

$f (x) = \arctan (x^{2} - 2 x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

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Etapa 2.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Etapa 2.1.1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Etapa 2.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 2.1.2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2 \cdot 1)$

Etapa 2.1.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.5.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2)$

Etapa 2.1.2.5.2

Reordene os fatores de $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$f' (x) = (2 x - 2) \frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$ .

$(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$

Etapa 3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 2 = 0$

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Etapa 3.3

Defina $2 x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.3.1

Defina $2 x - 2$ como igual a $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Etapa 3.3.2

Resolva $2 x - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$2 x = 2$

Etapa 3.3.2.2

Divida cada termo em $2 x = 2$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 2$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Etapa 3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Etapa 3.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Etapa 3.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.2.3.1

Divida $2$ por $2$ .

$x = 1$

Etapa 3.4

Defina $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ como igual a $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 3.4.2.2

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3.5

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$ verdadeiro.

$x = 1$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $1$ .

$1$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = (2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \arctan (x^{2} - 2 x)$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {({(0)}^{2} - 2 \cdot 0)}^{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {(0 - 2 \cdot 0)}^{2}})$

Etapa 6.2.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {(0 + 0)}^{2}})$

Etapa 6.2.1.2

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + 0^{2}})$

Etapa 6.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + 0})$

Etapa 6.2.1.4

Some $1$ e $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1})$

Etapa 6.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1})$

Etapa 6.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f' (0) = (2 (0) - 2) \cdot 1$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.2.2.1

Multiplique $2 (0) - 2$ por $1$ .

$f' (0) = 2 (0) - 2$

Etapa 6.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Etapa 6.2.2.2.3

Subtraia $2$ de $0$ .

$f' (0) = - 2$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 6.3

Em $x = 0$ , a derivada é $- 2$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {({(2)}^{2} - 2 \cdot 2)}^{2}})$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {(4 - 2 \cdot 2)}^{2}})$

Etapa 7.2.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {(4 - 4)}^{2}})$

Etapa 7.2.1.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + 0^{2}})$

Etapa 7.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + 0})$

Etapa 7.2.1.4

Some $1$ e $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1})$

Etapa 7.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1})$

Etapa 7.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f' (2) = (2 (2) - 2) \cdot 1$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.2.2.2.1

Multiplique $2 (2) - 2$ por $1$ .

$f' (2) = 2 (2) - 2$

Etapa 7.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (2) = 4 - 2$

Etapa 7.2.2.2.3

Subtraia $2$ de $4$ .

$f' (2) = 2$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 7.3

Em $x = 2$ , a derivada é $2$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(1, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, 1)$

Etapa 9