Cálculo Exemplos

${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$

Etapa 1

Escreva ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ como uma função.

$f (x) = {(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 2.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.2.5

Some $1$ e $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.2.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ e $0$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$

Etapa 3.2

Simplifique $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ .

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Use o teorema binomial.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} \cdot 1 + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Etapa 3.2.1.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1 + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Etapa 3.2.1.2.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Etapa 3.2.1.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{4}) - 5 = 0$

Etapa 3.2.1.2.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1^{4}) - 5 = 0$

Etapa 3.2.1.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1) - 5 = 0$

Etapa 3.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Etapa 3.2.1.4

Simplifique.

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Etapa 3.2.1.4.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Etapa 3.2.1.4.2

Multiplique $6$ por $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Etapa 3.2.1.4.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Etapa 3.2.1.4.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5 = 0$

Etapa 3.2.2

Combine os termos opostos em $5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5$ .

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Etapa 3.2.2.1

Subtraia $5$ de $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 0 = 0$

Etapa 3.2.2.2

Some $5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x$ e $0$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x = 0$

Etapa 3.3

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = - 2, 0$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $- 2, 0$ .

$- 2, 0$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = 5 {((- 3) + 1)}^{4} - 5$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Some $- 3$ e $1$ .

$f' (- 3) = 5 {(- 2)}^{4} - 5$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f' (- 3) = 5 \cdot 16 - 5$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $5$ por $16$ .

$f' (- 3) = 80 - 5$

Etapa 6.2.2

Subtraia $5$ de $80$ .

$f' (- 3) = 75$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $75$ .

$75$

Etapa 6.3

Em $x = - 3$ , a derivada é $75$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 2)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = 5 {((- 1) + 1)}^{4} - 5$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f' (- 1) = 5 \cdot 0^{4} - 5$

Etapa 7.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (- 1) = 5 \cdot 0 - 5$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $5$ por $0$ .

$f' (- 1) = 0 - 5$

Etapa 7.2.2

Subtraia $5$ de $0$ .

$f' (- 1) = - 5$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 5$ .

$- 5$

Etapa 7.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- 5$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 2, 0)$ .

Decréscimo em $(- 2, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 5 {((1) + 1)}^{4} - 5$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Some $1$ e $1$ .

$f' (1) = 5 \cdot 2^{4} - 5$

Etapa 8.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f' (1) = 5 \cdot 16 - 5$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $5$ por $16$ .

$f' (1) = 80 - 5$

Etapa 8.2.2

Subtraia $5$ de $80$ .

$f' (1) = 75$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $75$ .

$75$

Etapa 8.3

Em $x = 1$ , a derivada é $75$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 2), (0, \infty)$

Decréscimo em: $(- 2, 0)$

Etapa 10