Cálculo Exemplos

${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$

Etapa 1

Escreva ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$ como uma função.

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2.6

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2.8.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2.10

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2.11

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2.12

Combine $2$ e $\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2 (2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3} x + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2.13

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} x + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2.14

Combine $\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} x}{3} + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2.15

Mova ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Etapa 2.1.3.2

Some $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 x = 0$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x = 0$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 5

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 5.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{1}}}$

Etapa 5.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

Etapa 5.2

Defina o denominador em $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{x^{2} - 1} = 0$

Etapa 5.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{x^{2} - 1})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 5.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2} - 1}$ como ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Simplifique ${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 5.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 5.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 5.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 5.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 {(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{3}$

Etapa 5.3.2.2.1.4

Simplifique.

$27 (x^{2} - 1) = 0^{3}$

Etapa 5.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$27 x^{2} + 27 \cdot - 1 = 0^{3}$

Etapa 5.3.2.2.1.6

Multiplique $27$ por $- 1$ .

$27 x^{2} - 27 = 0^{3}$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 x^{2} - 27 = 0$

Etapa 5.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Some $27$ aos dois lados da equação.

$27 x^{2} = 27$

Etapa 5.3.3.2

Divida cada termo em $27 x^{2} = 27$ por $27$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Divida cada termo em $27 x^{2} = 27$ por $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

Etapa 5.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

Etapa 5.3.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{27}{27}$

Etapa 5.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.3.1

Divida $27$ por $27$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 5.3.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 5.3.3.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 5.3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 5.3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 5.3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 5.4

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Etapa 6

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{3 {({(- 2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 {({(- 2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 {(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 7.2.3

Multiplique $3$ por $3^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Multiplique $3$ por $3^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 7.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Etapa 7.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Etapa 7.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Etapa 7.2.3.4

Some $3$ e $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = - \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.5

A resposta final é $- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 (\frac{1}{2})}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 8.2.1.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 8.2.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 8.2.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 8.2.2.1.3

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 8.2.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 8.2.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 8.2.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 8.2.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 8.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1 - 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 8.2.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1 - 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 8.2.2.5.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{- 3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 8.2.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(- \frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 8.2.2.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 8.2.2.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Etapa 8.2.2.8

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Etapa 8.2.2.9

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Etapa 8.2.2.10

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.10.1

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Etapa 8.2.2.10.2

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ((- 1) (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Etapa 8.2.2.11

Avalie o expoente.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Etapa 8.2.3

Divida $- 4$ por $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Etapa 8.2.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 8.2.4.2

Combine $- 3$ e $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 8.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.5.1

Fatore o negativo.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 8.2.5.2

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 8.2.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 8.2.5.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 8.2.5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 8.2.5.6

Some $3$ e $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 8.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{- \frac{3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 8.2.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Etapa 8.2.8

Multiplique $- 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.8.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Etapa 8.2.8.2

Combine $2$ e $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 8.2.8.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 8.2.8.4

Multiplique os expoentes em ${(2^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.8.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{3})}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 8.2.8.4.2

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 8.2.8.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{1 + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 8.2.8.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 8.2.8.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{3 + 2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 8.2.8.8

Some $3$ e $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 8.2.9

A resposta final é $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 8.3

Em $x = - \frac{1}{2}$ , a derivada é $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 1, 0)$ .

Acréscimo em $(- 1, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(0, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{3 {({(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {({(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 9.2.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 9.2.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 9.2.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 9.2.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 9.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1 - 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 9.2.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1 - 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 9.2.2.5.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{- 3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 9.2.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(- \frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 9.2.2.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 9.2.2.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 9.2.2.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Etapa 9.2.2.8

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Etapa 9.2.2.9

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Etapa 9.2.2.10

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.2.2.10.1

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Etapa 9.2.2.10.2

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ((- 1) (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Etapa 9.2.2.11

Avalie o expoente.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Etapa 9.2.3

Divida $4$ por $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Etapa 9.2.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 9.2.4.2

Combine $- 3$ e $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 9.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.5.1

Fatore o negativo.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 9.2.5.2

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 9.2.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 9.2.5.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 9.2.5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 9.2.5.6

Some $3$ e $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 9.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{- \frac{3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 9.2.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Etapa 9.2.8

Multiplique $2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2.8.2

Combine $- 2$ e $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2.8.3

Fatore o negativo.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 4^{\frac{1}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2.8.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2.8.5

Multiplique os expoentes em ${(2^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.8.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{3})})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2.8.5.2

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 2^{\frac{2}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2.8.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{1 + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2.8.7

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2.8.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{3 + 2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2.8.9

Some $3$ e $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2.10

A resposta final é $- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.3

Em $x = \frac{1}{2}$ , a derivada é $- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 1)$ .

Decréscimo em $(0, 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 10

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{3 {({(2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 {(2^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 {(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.2.2.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.2.3

Multiplique $3$ por $3^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.1

Multiplique $3$ por $3^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (2) = \frac{8}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Etapa 10.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Etapa 10.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Etapa 10.2.3.4

Some $3$ e $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 10.2.4

A resposta final é $\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 10.3

Em $x = 2$ , a derivada é $\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 11

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 1, 0), (1, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 1), (0, 1)$

Etapa 12