Cálculo Exemplos

$\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$

Etapa 1

Escreva $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ como uma função.

$f (t) = \frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $136$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}$ em relação a $t$ é $136 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}]$ .

$136 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2.2

Reescreva $\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}$ como ${(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 1}$ .

$136 \frac{d}{d t} [{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = 1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

$136 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$136 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2.5

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2.6

Como $0.25$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ em relação a $t$ é $0.25 \frac{d}{d t} [{(t - 4.5)}^{2}]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 \frac{d}{d t} [{(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t - 4.5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $t - 4.5$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $t - 4.5$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t - 4.5$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4.5]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4.5])))) + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (1 + \frac{d}{d t} [- 4.5])))) + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2.10

Como $- 4.5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 4.5$ em relação a $t$ é $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (1 + 0)))) + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2.11

Some $1$ e $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2.12

Multiplique $2$ por $1$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5)))) + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2.13

Multiplique $2$ por $0.25$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.5 (t - 4.5))) + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2.14

Some $0$ e $0.5 (t - 4.5)$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0.5 (t - 4.5))) + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2.15

Multiplique $0.5$ por $- 1$ .

$136 (- 0.5 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5)) + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.2.16

Multiplique $- 0.5$ por $136$ .

$- 68 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5) + \frac{d}{d t} [28]$

Etapa 2.1.3

Como $28$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $28$ em relação a $t$ é $0$ .

$- 68 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5) + 0$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 68 \frac{1}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

Etapa 2.1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.2.1

Combine $- 68$ e $\frac{1}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

Etapa 2.1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

Etapa 2.1.4.2.3

Some $- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$ e $0$ .

$- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$

Etapa 2.1.4.3

Reordene os fatores de $- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$ .

$- (t - 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(- t - - 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.5

Multiplique $- 1$ por $- 4.5$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.6.1

Reescreva ${(t - 4.5)}^{2}$ como $(t - 4.5) (t - 4.5)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 ((t - 4.5) (t - 4.5)))}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6.2

Expanda $(t - 4.5) (t - 4.5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t (t - 4.5) - 4.5 (t - 4.5)))}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t \cdot t + t \cdot - 4.5 - 4.5 (t - 4.5)))}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t \cdot t + t \cdot - 4.5 - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.6.3.1.1

Multiplique $t$ por $t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} + t \cdot - 4.5 - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6.3.1.2

Mova $- 4.5$ para a esquerda de $t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 4.5 \cdot t - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6.3.1.3

Multiplique $- 4.5$ por $- 4.5$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 4.5 t - 4.5 t + 20.25))}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6.3.2

Subtraia $4.5 t$ de $- 4.5 t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 9 t + 20.25))}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} + 0.25 (- 9 t) + 0.25 \cdot 20.25)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.6.5.1

Multiplique $- 9$ por $0.25$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} - 2.25 t + 0.25 \cdot 20.25)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6.5.2

Multiplique $0.25$ por $20.25$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} - 2.25 t + 5.0625)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6.6

Some $1$ e $5.0625$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.25 t^{2} - 2.25 t + 6.0625)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6.7

Fatore $0.0625$ de $0.25 t^{2} - 2.25 t + 6.0625$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.6.7.1

Fatore $0.0625$ de $0.25 t^{2}$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) - 2.25 t + 6.0625)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6.7.2

Fatore $0.0625$ de $- 2.25 t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t) + 6.0625)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6.7.3

Fatore $0.0625$ de $6.0625$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t) + 0.0625 (97))}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6.7.4

Fatore $0.0625$ de $0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2} - 36 t) + 0.0625 (97))}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6.7.5

Fatore $0.0625$ de $0.0625 (4 t^{2} - 36 t) + 0.0625 (97)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2} - 36 t + 97))}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6.8

Aplique a regra do produto a $0.0625 (4 t^{2} - 36 t + 97)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{0.0625}^{2} {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6.9

Eleve $0.0625$ à potência de $2$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.7

Fatore $68$ de $68$ .

$(- t + 4.5) \frac{68 (1)}{0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.8

Fatore $0.00390625$ de $0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}$ .

$(- t + 4.5) \frac{68 (1)}{0.00390625 ({(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2})}$

Etapa 2.1.4.9

Separe as frações.

$(- t + 4.5) (\frac{68}{0.00390625} \cdot \frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}})$

Etapa 2.1.4.10

Divida $68$ por $0.00390625$ .

$(- t + 4.5) (17408 \frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}})$

Etapa 2.1.4.11

Combine $17408$ e $\frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$(- t + 4.5) \frac{17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.12

Multiplique $- t + 4.5$ por $\frac{17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$\frac{(- t + 4.5) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.13.1

Fatore $0.5$ de $- t + 4.5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.13.1.1

Fatore $0.5$ de $- t$ .

$\frac{(0.5 (- 2 t) + 4.5) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.13.1.2

Fatore $0.5$ de $4.5$ .

$\frac{(0.5 (- 2 t) + 0.5 (9)) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.13.1.3

Fatore $0.5$ de $0.5 (- 2 t) + 0.5 (9)$ .

$\frac{0.5 (- 2 t + 9) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.13.2

Multiplique $17408$ por $0.5$ .

$\frac{8704 (- 2 t + 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.14

Fatore $- 1$ de $- 2 t$ .

$\frac{8704 (- (2 t) + 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.15

Reescreva $9$ como $- 1 (- 9)$ .

$\frac{8704 (- (2 t) - 1 (- 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.16

Fatore $- 1$ de $- (2 t) - 1 (- 9)$ .

$\frac{8704 (- (2 t - 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.17

Reescreva $- (2 t - 9)$ como $- 1 (2 t - 9)$ .

$\frac{8704 (- 1 (2 t - 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (t) = - \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (t)$ com relação a $t$ é $- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8704 (2 t - 9) = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $8704 (2 t - 9) = 0$ por $8704$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Divida cada termo em $8704 (2 t - 9) = 0$ por $8704$ .

$\frac{8704 (2 t - 9)}{8704} = \frac{0}{8704}$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $8704$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8704 (2 t - 9)}{8704} = \frac{0}{8704}$

Etapa 3.3.1.2.1.2

Divida $2 t - 9$ por $1$ .

$2 t - 9 = \frac{0}{8704}$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Divida $0$ por $8704$ .

$2 t - 9 = 0$

Etapa 3.3.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$2 t = 9$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $2 t = 9$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $2 t = 9$ por $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{9}{2}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 t}{2} = \frac{9}{2}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{9}{2}$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (t) = - \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (t) = \frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{9}{2})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $t$ por $\frac{7}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{8704 (2 (\frac{7}{2}) - 9)}{{(4 {(\frac{7}{2})}^{2} - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $8704$ por $2 (\frac{7}{2}) - 9$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 {(\frac{7}{2})}^{2} - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{2^{2}}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{4}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{4}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.1

Fatore $2$ de $- 36$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 + 2 (- 18) (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.5.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 + 2 \cdot (- 18 (\frac{7}{2})) + 97)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.5.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 18 \cdot 7 + 97)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.6

Multiplique $- 18$ por $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 126 + 97)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.7

Subtraia $126$ de $49$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(- 77 + 97)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.8

Some $- 77$ e $97$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{20^{2}}$

Etapa 6.2.2.9

Eleve $20$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{400}$

Etapa 6.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 17408$ e $400$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Fatore $16$ de $- 17408$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 (- 1088)}{400}$

Etapa 6.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.2.1

Fatore $16$ de $400$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 \cdot - 1088}{16 \cdot 25}$

Etapa 6.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 \cdot - 1088}{16 \cdot 25}$

Etapa 6.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 1088}{25}$

Etapa 6.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{1088}{25}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{1088}{25}$ .

$\frac{1088}{25}$

Etapa 6.3

Em $t = \frac{7}{2}$ , a derivada é $\frac{1088}{25}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, \frac{9}{2})$ .

Acréscimo em $(- \infty, \frac{9}{2})$ , pois $f' (t) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{9}{2}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $t$ por $\frac{11}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{8704 (2 (\frac{11}{2}) - 9)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $8704$ por $2 (\frac{11}{2}) - 9$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{11}{2}$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{11^{2}}{2^{2}}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Eleve $11$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{2^{2}}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{4}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{4}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.5.1

Fatore $2$ de $- 36$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 + 2 (- 18) (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.5.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 + 2 \cdot (- 18 (\frac{11}{2})) + 97)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.5.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 18 \cdot 11 + 97)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.6

Multiplique $- 18$ por $11$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 198 + 97)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.7

Subtraia $198$ de $121$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(- 77 + 97)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.8

Some $- 77$ e $97$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{20^{2}}$

Etapa 7.2.2.9

Eleve $20$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{400}$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum de $17408$ e $400$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Fatore $16$ de $17408$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 (1088)}{400}$

Etapa 7.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.2.1

Fatore $16$ de $400$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 \cdot 1088}{16 \cdot 25}$

Etapa 7.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 \cdot 1088}{16 \cdot 25}$

Etapa 7.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{1088}{25}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- \frac{1088}{25}$ .

$- \frac{1088}{25}$

Etapa 7.3

Em $t = \frac{11}{2}$ , a derivada é $- \frac{1088}{25}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(\frac{9}{2}, \infty)$ .

Decréscimo em $(\frac{9}{2}, \infty)$ , pois $f' (t) < 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, \frac{9}{2})$

Decréscimo em: $(\frac{9}{2}, \infty)$

Etapa 9